Правила перевода чисел, записи чисел в память и выполнения арифметических операций

Правило 1. Перевод чисел из системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления.

Чтобы перевести число из системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления необходимо число представить в многочленной форме, которая представляет собой сумму m+n+1 слагаемых. Каждое слагаемое ставится в соответствие разряду исходного числа и представляет собой произведение двух сомножителей. Первый сомножитель - десятичное число, соответствующее по весу цифре разряда исходного числа. Второй сомножитель - это степень, основанием которого является основание системы счисления, а показателем степени - номер разряда.

Правило 2.Перевод целых чисел из десятичной в систему счисления с основанием q.

Для этого исходное число необходимо разделить на основание системы счисления q. При этом будет получено частное (целое число) и остаток от деления (целое число). На следующем шаге алгоритма необходимо полученное частное также разделить на основание системы счисления. Будет получено новое частное и остаток. Деление очередного частного производится до тех пор, пока очередное частное не окажется строго меньше основания системы счисления q. Цифре старшего разряда будет соответствовать частное последнего деления. Цифре следующего разряда  остаток последнего деления. Цифре следующего разряда  остаток предпоследнего деления и т. д., цифре младшего разряда будет соответствовать остаток первого деления.

Правило 3. Перевод правильной десятичной дроби из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q.

Для этого правильную дробь необходимо умножить на основание системы счисления q. При этом будет получена целая и дробная часть произведения. На следующем шаге алгоритма необходимо дробную часть произведения умножить на основание системы счисления q. При этом будет получена также целая и дробная часть произведения. Дробные части произведений далее умножаются на основание системы счисления q.

Этот процесс завершается в трёх случаях:

1. Дробная часть произведения оказывается равной нулю. В этом случае перевод исходного десятичного числа в систему счисления с основанием q точный.

2. Дробная часть произведения оказывается равной одной из дробных частей произведений, найденных ранее. В этом случае искомое число представляет собой периодическую дробь (перевод приближенный).

3. Задана точность перевода, определяемая количеством разрядов в дробной части числа. В этом случае считается, что все разряды дробной части искомого числа определены, когда количество найденных произведений равно точности перевода.

Запишем исходное число. Цифре разряда с номером -1 соответствует целая часть первого произведения. Цифре разряда с номером -2 соответствует целая часть второго произведения, и т. д.

При вводе дробных чисел перевод в двоичную систему счисления может быть произведен приближенно, при обратном переводе из двоичной в десятичную систему счисления результат будет меньше исходного числа.

Правило 4. Перевод чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Для этого необходимо разбить исходное число на триады (тетрады). Триада (тетрада) представляет собой последовательность трех (четырех) соседних двоичных цифр взятых из записи исходного числа.

Разбиение исходного числа производится от разделительной точки. Целая часть числа разбивается при движении от разделительной точки влево. Дробная часть числа разбивается при движении от разделительной точки вправо. Крайняя левая группа, если она не укомплектована двоичными цифрами, дополненяется нулями: слева. Крайняя правая группа, если она не укомплектована двоичными цифрами, дополненяется нулями: справа. Далее необходимо каждой триаде (тетраде) поставить в соответствие цифру восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления. Запишем число. Порядок цифр восьмеричных (шестьнадцатиричных) цифр в записи искомого числа такой же, что и порядок соответствующих триад (тетрад) в записи исходного числа.

Правило 5. Перевод из восьмеричной, шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления.

Для этого необходимо каждой цифре исходного числа поставить в соответствие триаду (тетраду) двоичных цифр. Запишем искомое число. Искомое число будет состоять из последовательности триад (тетрад). Порядок триад такой же, как и порядок соответствующих цифр в записи исходного числа.

Правило 6.Преобразование отрицательного десятичного числа в дополнительный код.

Для этого:

1. Найдем абсолютную величину исходного числа.

2. Переведем значение абсолютной величины числа в двоичную систему счисления

3. Дополним слева незначащими нулями до необходимой разрядности. При этом обязательно должен быть добавлен хотя бы один разряд для знакового разряда.

4. Найдем обратный код полученного числа. При этом двоичные нули исходного числа заменяются на двоичные единицы, а двоичные единицы на двоичные нули.

5. К полученному обратному коду прибавляется единица по весу равная единице младшего разряда.

Правило 7. Обратное преобразование числа из дополнительного кода.

Для этого:

1. Найдем обратный код дополнительного кода числа. Заменим двоичные нули на единицы, а двоичные единицы на двоичные нули.

2. К полученному числу прибавим единицу, равную по весу единице младшего разряда

3. Переведем полученное число в десятичную систему счисления

4. Слева припишем знак-

Правило 9. Преобразование десятичного числа в короткий формат

1. Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления.. Перевод осуществляться в соответствии с правилом 2. При этом искомое двоичное число должно содержать 25 значащих разрядов. Если число по абсолютной величине больше или равно единице, то количество дробных разрядов (точность перевода) числа можно определить следующим образом:

m + n + 1 = 25; m = 24 – n,

где n  номер старшего разряда числа, m  количество разрядов дробной части искомого числа. Искомое число будем содержать 25 значащих разрядов.

Если число по абсолютной величине меньше единицы, то при переводе правильной десятичной дроби необходимо определить номер первого разряда дробной части искомого двоичного числа, в котором будет располагаться двоичная единица. Пусть номер найденного разряда -j. Обозначим через l количество разрядов с двоичными нулями, расположенными между разделительной точкой и разрядом с номером –j, l = j -1. Тогда точность перевода равна: m = l + 25. Разряды с номерами небольшими, чем –j назовем значащими разрядами числа. Их количество равно 25.

2. Округление числа. При этом к полученному на первом шаге числу прибавляется единица, по весу равная единице младшего разряда. Затем младший разряд суммы отбрасывается. В результате будет полученное число, содержащее 24 значащих разрядов.

3. Нормализация числа. Для этого необходимо перемещать разделит. точку таким образом, чтобы искомое число, полученное в результате перемещения точки, располагалось на полусегменте [1, 2} (x-искомое число, 1 x2).

Первоначально порядок числа принимается равный нулю. Если число оказывается больше или равно двух, то разделительная точка перемещается вправо. При этом значение порядка увеличивается на величину равную количеству разрядов, на которые переместилась точка. Если исходное число меньше 1, то разделительная точка перемещается вправо. При этом значение порядка уменьшается на величину, равную количеству разрядов, на которое переместилась разделительная точка. Полученный порядок числа называется абсолютным порядком числа.

Число, расположенное на полусегменте [1, 2), имеет целую часть равную 1. Поэтому при хранении числа в оперативной памяти нет необходимости в хранении целой части числа. Целая часть отбрасывается. В этом случае остается мантисса (дробная часть числа), содержащая 23 значащих разрядов.

4. Определение смещенного порядка числа. Для этого необходимо к абсолютному порядку, полученному на шаге 3 прибавить 127 (сместить порядок на 127). В результате получим смещенный порядок числа. Полученное десятичное число необходимо перевести в двоичную систему счисления и представить в форме 8-рязрядного двоичного числа без знака. Смещенный порядок -неотрицательное число. Минимальное. значение абсолютного порядка равно -127.

5 Запись числа в память. Дробное число в коротком формате представляется в памяти в форме нормализованного числа, занимающего 4 байта. Старший бит третьего байта (бит с номером 7) является знаковым битом. Если число неотрицательное, то знак числа равен нулю. Если число отрицательное, то знак числа равен единице. Смещенный порядок числа занимает 8 бит (1 байт) и расположен с нулевого по 6-ой бит первого байта и в 7-ом бите второго байта. Мантисса числа занимает 23 бита и располагается во втором байте с нулевого по 6-ой бит и полностью занимает первый и нулевой байты числа.