1.2. Основные правила контроля правильности построения эпюр.

1. На участке, где распределенная нагрузка отсутствует q=0, поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется по линейному закону.

2. На участке, где q=соnst, поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент –по квадратичной параболе.

3. В сечении, где приложена сила F, на эпюре Q имеется скачок величина которого равна этой силе, а на эпюре М будет излом остриё которого направлено в сторону действия этой силы.

4. В сечении, где приложен сосредоточенный изгибающий момент М, на эпюре Q в этом сечении никаких изменений, а на эпюре М имеется скачок величина которого равна этому моменту,

5. Если на участке балки поперечная сила Q=0, то изгибающий момент на этом участке имеет постоянное значение.

6. Если на участке балки эпюра Q будучи наклонной, пересекает в каком-то сечении ось абсцисс, то изгибающий момент в этом сечении имеет экстремальное значение для данного участка.

2. Примеры построение эпюр поперечных и продольных сил, изгибающих моментов

Порядок построения эпюр рассмотрим на примерах. Для

составления выражений для поперечной силы и изгибающего момента применим метод сечений. Балку рассекаем в произвольном сечении каждого участка z либо в характерных сечениях. Для построения эпюр Q и М следует определять значения Q и М в характерных сечениях балки.

Пример 2.1. Построить эпюры Q и М_х для консольной балки,

показанной на рис. 2.1.

Решение. В защемлении А возникают опорная реакция R_A и опорный момент M_A.

Из уравнения равновесия определяем значения R_A и M_A

∑ Fy = 0 – R_A +q 4 – F = 0; R_A = 20 4 – 20 = 60 кН.

∑ М_A = 0 –M_A – M – q∙4 2 + F 4 = 0;

M_A = –8 –20 4 2 +20 4 = – 88 кН м.

Знак «–» означает, что опорный момент M_A имеет противоположное направление.

Для проверки правильности значений R_A и M_A составим уравнение моментов относительно произвольной точки консоли В или С.

∑ М_С = 0; – М_А – R_A 4 – M + q 4 2 = 0;

–(–88) –60∙4 – 8 + 20∙4∙2 = 0; 0 ≡ 0.

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Рис.2.1

В соответствии с характером загружения балки разобьем балку на два участка. Рассечём балку в произвольных сечениях на каждом участке и рассмотрим равновесие на участке АВ равновесие левой части балки, а на участке ВС равновесие правой части.

Выражения поперечных сил и изгибающих моментов будут иметь следующий вид.

Участок АВ 0 z 1,5 м.

Q= R_A – q z=60 –20 z; М_Х=R_A z+М_А–q z z/2=60 z -88–20 z²/2.

Эпюра Q изменяется по линейной зависимости, поэтому для по строения эпюры Q достаточно вычислить значения Q в начале и

конце участка. Эпюра М_Х изменяется по нелинейной зависимости,

поэтому для построения эпюры М_Х необходимо вычислить значения

изгибающих моментов в трех сечениях.

Вычислим значения Q и М_Х.

при z=0 Q_А = 60 кН; М_А = –88 кНм;

при z=1,5 м Q_В = 30 кН; M_B =–20,5 кНм;

при z=0,75 м М_Х = –48,61кНм.

Участок СВ (справа) 0 z 2,5 м.

Q_С = q z –F = 20 z–20; М_Х = –q z z/2+F z=–20 z²/2+20 z.

Вычислим значения Q и М_Х;

при z=0 Q_с = –20 кН; М_Cc =0; при z=2,5 м Q_В = 30 кН; M_B =–12,5 кНм;

На участке имеется сечение, где Q=0 . Изгибающий момент в этом сечении достигает экстремального сечения.

Определим положение сечения на этом участке, в котором поперечная сила Q равна нулю.

Q = q z₀ – F = 20 z₀ – 20 = 0, Откуда, находим z₀ = 1 м.

Экстремальное значение М_х на участке ВС равно:

М_х^max = F∙ z₀ – q∙ z₀∙ z₀/2 = 20 1 – 20 1 0,5 = 10 кН∙м

Все найденные ординаты Q и М_Х откладываем в удобном масштабе. Эпюры Q и М_х показаны на рис.2.1.

Опасным сечением будет сечение А, где М_х = –88 кНм, Q=60 кН.

Пример 2.2. Построим эпюры Q и М_х для консольной балки, показанной на рис.2.2

Рис.5

Рис.5

Рис.2.2

Применим способ вычисления Q_y и M_x в характерных сечениях. Характерными сечениями для участка, где отсутствует распределённая нагрузка ( q=0) являются начало и конец участка.

На участке, где действует распределённая нагрузка (q=const), изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы и характерными сечениями являются три сечения.

Если на этом участке имеется сечение, где Q=0, определяется положение этого сечения и значение экстремального М_х в этом сечении. Если на этом участке нет такого сечения, как правило, определяется значение М_х в середине участка.

Для консольной балки можно построить эпюры Q и М_х без определения опорной реакции R_c и опорного момента М_с.

Вычислим Q и М_х в характерных сечениях, начиная со свободного конца, т.е. с сечения А.

Участок АВ Сечение А: Q_А = 0; М_х = М = 10 кН∙м

Сечение В: Q_В^лев = 0; М_В = М = 10 кН∙м.

Участок ВС Сечение В: Q_В^пр = –F = –20 кН∙м: М_В = М = 10 кН∙м

Сечение С: Q_С = –F –q 2 = –20 –15 2 = –50 кН

М_С = М –F 2 –q∙2 1 = 10 – 40 – 30 = –60 кН∙м

Эпюры Q и М_х представлены на рис.2.2. На участке АВ отсутствует распределенная нагрузка, Q=0, М_х = 10 кН∙м = const.

Опасным сечением будет сечение С, где М_х = –60 кН∙м, Q=–50 кН.

По эпюрам Q и М_х можно определить значения опорной реакции и опорного момента в сечении С. R_C = 50 кН, M_C = –60 кН∙м.

П ример 2.3. Построим эпюры Q_y и М_х для шарнирно опёртой балки, показанной на рис.2.3.

Рис.2.3

Из уравнений равновесия найдем опорные реакции R_А и R_В..

∑ M_B =–R_А 6+q 4(2+2)+F 2–M=0; R_А 6+15–4 4+15 2–30=0;

R_А=240/6=40кH.

∑ M_А=R_В 6–M–F 4–q 4 2=0; R_В 6–30–15 4–15 4 2=0;

R_В=210/6=35кH.

Для проверки спроектируем все силы на вертикальную ось у.

∑ F_y ==0; –R_А+q 4+F–R_В=0;

–40+15 4+15–35=0.

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Вычислим Q и М_х в характерных сечения.