Метод Гаусса з вибором головного елемента.

Запишемо розширену прямокутну матрицю коефіцієнтів системи з рівнянь.

Серед елементів матриці вибираємо найбільший за модулем елемент, який називається головним елементом. Нехай ним буде . Рядок з номером називається головним рядком. Обчислюємо множники для всіх .

Далі перетворюємо матрицю наступним чином: з кожного го неголовного рядка віднімаємо почленно головний рядок, домножений на . Отримаємо матрицю, у якої всі елементи го стовпця за винятком , дорівнюють нулю. Відкидаючи цей стовпець і головний рядок, отримуємо нову матрицю з меншою на одиницю кількістю рядків та стовпців. Над матрицею повторюємо такі ж дії й тримаємо матрицю і т.д. Ці перетворення продовжуємо доки не отримаємо матрицю, що містить один рядок з двох елементів, який вважаємо головним.

Об’єднаємо всі головні рядки починаючи з останнього. Після перестановки вони утворять трикутну матрицю, еквівалентну початковій матриці . Цей етап називають прямим ходом обчислень. Розв’язавши систему з отриманою трикутною матрицею коефіцієнтів, знайдемо послідовно невідомі . Цей етап обчислень називають зворотним ходом. Усі описані обчислення проводять аналогічно до методу Гауса. Сенс вибирання головного елемента полягає в тому, щоб зробити як найменшими числа і завдяки цьому зменшити похибку обчислень.

Метод lu – розвитку

Це одна з модифікацій методу Гауса. Матрицю А зображають у вигляді добутку двох трикутних матриць: , де

(8)

Тоді система коефіцієнтів системи з рівнянь набуде вигляду

(9)

(10)

Прямий хід тут – це розв’язування системи (9), зворотний – розв’язування системи (10). Елементи матриць і обчислюють послідовно: спочатку елементи першого стовпця матриці , потім – першого рядка матриці і перший елемент вектора ; далі – другий стовпець матриці , другий рядок матриці і другий елемент вектора і так далі: