§ 3.6. Пути, контуры в ориентированном графе

Понятия пути, контура в ориентированном графе аналогичны понятиям маршрута, цикла в неориентированном графе.

Определение 3.6.1. Путем ориентированного графа называется последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей дуги.

Определение 3.6.2. Число дуг пути называется длиной пути.

Определение 3.6.3. Путь называется контуром, если его начальная вершина совпадает с конечной вершиной.

Определение 3.6.4. Путь (контур), в котором все дуги различны, называется простым.

Определение 3.6.5. Путь (контур), в котором все вершины, кроме первой и последней, различны, называется элементарным.

Следует усвоить, что понятиям ребра, маршрута, цепи, цикла в неориентированном графе соответствуют понятия дуги, пути, ориентированной цепи, контура в ориентированном графе. Для лучшего запоминания приведем эти термины в таблице:

Неориентированный граф	Ориентированный граф
Ребро	Дуга
Маршрут	Путь
Цикл	Контур

Пример. В приведенном на рис. 18. графе выделим следующие пути:

(x₁,x₂,x₃,x₄) – простой элементарный путь, т.к. каждая вершина и каждая дуга используются не более одного раза;

(x₂,x₅,x₆,x₇,x₂) – простой элементарный контур, т.к. это замкнутый путь, в котором все дуги и вершины, кроме первой и последней, различны.

рис.18

§ 3.7. Связность графа

Определение 3.7.1. Неориентированный граф называется связным, если каждая пара различных вершин может быть соединена, по крайней мере, одной цепью.

Определение 3.7.2. Ориентированный граф называется сильно связным, если для любых двух его вершин xi и xj существует хотя бы один путь, соединяющий xi с xj.

Определение 3.7.3. Ориентированный граф называется односторонне связным, если для любых двух его вершин, по крайней мере, одна достижима из другой.

Определение 3.7.4. Компонентой связности неориентированного графа называется его связный подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного подграфа данного графа (максимально связный подграф).

Пусть G = (X, A) неориентированный граф с множеством вершин X = {x₁, ..., x_n}. Квадратная матрица S = (s_ij) порядка n, у которой

sij =	1, если вершины и принадлежат одной компоненте связности,
	0, в противном случае.

называется матрицей связности графа G.

Для ориентированного графа квадратная матрица T = (tij) порядка n, у которой

tij =	1, если существует путь из xi в xj и из xi в xj,
	0, в противном случае.

называется матрицей связности.

Пример. У неориентированного графа, изображенного на рис. 19 две компоненты связности. Первая компонента связности включает вершины x₁, x₂, x₄, x₅, а вторая состоит из одной вершины x₃.

Граф	Матрица связности
рис.19	1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1

Пример. У ориентированного графа, изображенного на рис. 20 две компоненты сильной связности. Первая компонента связности включает вершины x₁, x₂, x₃, x₅, а вторая состоит из одной вершины x₄. Действительно, для любой пары вершин из множества {x₁, x₂, x₃, x₅} существует хотя бы один путь, соединяющий эти вершины. Например, путь (x₁, x₂, x₅, x₃, x₁) соединяет все эти вершины. Из вершины x₄ нет пути ни в одну вершину графа.

Граф	Матрица связности
рис.20	1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1

Мы видим, что 1 – ая, 2 – ая, 3 – ая и 5 – ая строки матрицы S одинаковы.