Задачи по теме : «Кинематика твёрдого тела». Плоское движение.

_{Задача №1. Колесо катиться со скоростью V0=5м/с (скорость центра).}

_{Определить скорости точек, лежащих на вертикальном и горизонтальном диаметрах. Радиус колеса R=0,5 м.}

Решение:

Определяем положение мгновенного центра скоростей. Колесо катится без скольжения. Поэтому абсолютная скорость точки Р, расположенной внизу колеса будет равна нулю. Это значит, что точка Р является мгновенным центром скоростей.

_{Определим угловую скорость колеса:}

V₀=ω∙R

ω=V₀/R=5/0,5=10 с^-1

Определяем скорости точек, расположенные на вертикальном диаметре:

V_р=0 м/с; V_в= ω∙2R=10∙2∙0, 5=10 м/с

Определяем скорости точек, расположенные на горизонтальном диаметре:

V_А=V_C=

Задача №2. Найти скорость точки М, расположенной на ободе колеса, если скорость центра колеса V₀=10 м/с; угол ∝=30⁰;

радиус колеса R=1 м.

Решение:

Определяем положение мгновенного центра скоростей. Колесо катится без скольжения. Поэтому абсолютная скорость точки Р, расположенной внизу колеса будет равна нулю. Это значит, что точка Р является мгновенным центром скоростей.

Скорость точки М определяем с помощью мгновенного центра скоростей. Сложное движение точки М, состоящее из поступательного вместе с центром и вращательного вокруг центра, преобразуется во вращательное движение точки М вокруг точки Р.

V_М=ω∙РМ=10∙1,74=17,4 м/с

РМ=2R∙cos30⁰=2∙1∙0,87=1,74 м

ω=V₀/R=10/1=10 c^-1

Задача №3. Стержень А B совершает плоское движение, опираясь своими концами на две взаимно перпендикулярные оси ОХ и ОУ. Найти скорость точки А в момент времени, когда угол ОАВ=30⁰. Известно, что скорость точки В в этот момент времени равна 1,3 м/с.

Решение:

Угловая скорость вращения стержня ω=соnst и равна:

Задача №4. Две параллельные рейки движутся в разные стороны с постоянными скоростями V_А и V_B . Между рейками зажат диск радиусом R=0,4 м., катящийся по рейкам без скольжения. Найти угловую скорость диска и скорость его центра О, если V_А =0,6 м/с и V_B=0,2 м/с.

Решение:

Угловая скорость диска :

_{Скорость центра колеса:}

_V0=ω∙ОР

_{ОР=R-ВР=0,4 - 0,2=0,2 м}

Задача №5. Кривошип ОА = r = 40 cм вращается с угловой скоростью ω = 25 с^-1. Длина шатуна АВ = l = 100 cм. Определить скорость ползуна В в момент времени, когда кривошип образует с горизонталью угол α = 30⁰.

Решение:

Определим V_B

V_А= ω∙r = 25∙0.4 = 10 м/с

Рассмотрим треугольник ОАВ. По теореме синусов:

Определим угол: φ₂=90⁰-11⁰30^/ =78⁰30^/

Определим угол φ₁, который равен сумме двух внутренних, несмежных с ним:

φ₁= α + β= 30 ⁰+11⁰30^/ =41⁰30^/

Вычислим скорость V_B:

Задачи по теме: «Динамика».

Задача №1. В поднимающейся кабине лифта определяют вес тела с помощью динамометра. Масса тела равна 5 кг, показания динамометра 55 Н. Найти ускорение кабины?

Решение:

По четвёртой аксиоме Ньютона: сумма действующих на тело сил равна произведению массы тела на ускорение.

В проекциях на координатную ось ОУ:

N - m∙g =т∙а

_{Задача №2. Торможение автомобиля началось при его скорости V=72 км/ч.}

Определить тормозной путь, если коэффициент трения колёс о дорогу

f = 0, 34.

Решение:

По теореме об изменении кинетической энергии остановка автомобиля произойдёт за счёт работы силы трения, которая поглотит всю кинетическую энергию. Конечная скорость автомобиля V_К =0.

_{Задача №3. Насос приводится в действие двигателем мощностью NЗ = 4 л. с.; 1 л. с. =736 Вт.}

К. п. д. насоса . Сколько времени будет затрачено для подъёма

8000 м³ воды на высоту h = 4 м, плотность воды ρ = 10³ кг/м³.

Решение:

_{Задача №4. Пуля, массой m=10 г., летевшая со скоростью V0=400 м/с, пробив}

_{доску толшиной S=5 cм уменьшила скорость вдвое VК = VO/2. Определить среднюю силу сопротивления доски. За какое время пуля пройдёт это расстояние?}

Решение:

По теореме об изменении кинетической энергии изменение скорости произойдёт за счёт работы силы сопротивления.

Определяем время:

_{Задача№5. Найти силу давления между зубьями двух шестерён,}

находящихся в зацеплении, если одна из шестерён имеет диаметр 100 мм и передает мощность 44 кВт при частоте вращения n=2400 об/мин

Решение:

Определим вращательный момент:

М_ВР= Р∙R

Передаваемая мощность:

N= М_ВР∙ω = М_ВР∙

Задача №6. Шарик массой m=2 кг, подвешен на нить длиной 60 см. Шарик равномерно движется по окружности. Угол между нитью и осью ОУ α=30 ⁰.

Определить силу натяжения нити и скорость шарика.

Решение:

Так как вращение равномерное, то будет только центростремительное ускорение:

_{Если добавить к системе сил центобежную силу инерции, то можно решить}

задачу с помощью метода Даламбера ( или метод кинетостатики). Активные силы, силы реакции связей и сила инерции представляют уравновешенную систему сил:

В проекциях на оси декартовой системы координат:

Х_i= T∙sin∝ - Q_ИН = 0

Y_i= T∙соs∝ - G = 0

Q_ИН= T∙sin∝=22,7 ∙ 0,5=11,3 Н

Задача №7. В период пуска электродвигателя его ротор вращается под действием постоянного момента М_ВР=80 Н∙м. В подшипниках возникает момент трения М_ТР=5 Н∙м. Считая ротор однородным диском массой

m=100 кг., диаметр ротора d=0,4м. Определить сколько оборотов N сделает ротор за 6 секунд и угловую скорость ω в конце 10 – ой секунды?

Решение:

Применим для решения основное уравнение динамики при вращательном движении:

М= М_ВР - М_ТР=J∙ε

О севой момент инерции диска:

ε- угловое ускорение

80 – 5 =

ε= 37,5 рад/с²

Задача №8. Одинаковые зубчатые колёса 1 и 2 массой m=2 кг приводятся в движение из состояния покоя постоянным моментом пары сил М=1 Н∙м. Определить угловую скорость колёс после двух оборотов, если радиус инерции каждого из колёс относительно оси вращения равен ρ=0,2 м.

Решение:

Применим для решения основное уравнение динамики при вращательном движении:

М_ВР = J ∙ ε

J = m ∙ ρ²= 2 ∙ 0,2²= 0,08 кг∙м²

Задача №9. Тело массой m=1 кг падает по вертикали, сила сопротивления воздуха R=0,03∙v. Определить максимальную скорость падения тела.

Решение:

Применим четвёртую аксиому Ньютона (обобщённый второй закон).

_{Проецируем действующие силы на ось ОУ, направленную вниз:}

Скорость будет максимальной, если первая производная скорости будет равна нулю.

Задача №10. Грузы 1 и 2 массой m₁=2 кг и m₂=1кг подвешены к концам гибкой нити, перекинутой через блок. Определить скорость груза 1 в момент времени, когда он опустился на высоту h=3 м. Движение грузов начинается из состояния покоя.

Решение:

_{Проецируем силы, действующие на первый груз, на ось ОУ, направленную вниз:}

Нить нерастяжима, поэтому

Определим ускорение первого груза:

_{Движение груза равноускоренное, определим время из уравнения движения:}

Определим скорость первого груза:

Задача №11. Материальную точку весом Р =30 Н перемещают вниз по гладкой наклонной плоскости на расстояние l =50 м. Наклонная плоскость составляет угол α =60⁰ с горизонтом. Определить работу силы тяжести на этом перемещении.

Решение:

При движении груза вниз работа будет положительная

Задача №12. На материальную точку массой m=250 кг, которая движется по горизонтальной прямой, действует сила сопротивления R=5∙v².

Определить скорость точки в момент времени t=6 c., если при t₀=0 скорость v₀=20 м/с.

Решение:

Для решения применим теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме.

_{Запишем это уравнения в проекциях на координатную ось ОХ, разделив переменные:}

Проинтегрируем и левую и правую часть:

Выразим v:

Задача №13. Материальная точка массой m=0,2 кг движется вдоль оси Ох под действием F_х = -0,4∙t H. Определить скорость точки в момент времени t=2 c, если её начальная скорость v_ох=6 м/с.

Решение:

Значение силы зависит от времени, значит задачу нужно решать по теореме об изменении количества движения в дифференциальной форме:

Проинтегрируем левую и правую часть:

Задача №14. Чему равна кинетическая энергия зубчатой передачи двух цилиндрических колёс с числом зубьев z₂=2∙z₁, если их моменты инерции относительно их осей вращения J₂=2∙J₁=2 кг∙м². Угловая скорость колеса 1 ω₁=10 рад/с.

Решение:

Определим угловую скорость второго колеса из условия постоянства вращательного момента М _вр = J∙ε=const:

_{Значит справедливо следующее соотношение:}

Определим кинетическую энергию зубчатой передачи при вращательном движении:

Задача №15. Определить кинетическую энергию системы из двух одинаковых зубчатых колёс массой m=0,5 кг каждое, вращающихся с угловой скоростью ω=10 рад/с, соединённых между собой гибкой нитью, движущихся по горизонтальной плоскости, имея начальную скорость v_о=2 м/с. Радиус инерции каждого колеса относительно оси вращения равен ρ=0,2 м.

Решение:

Определим кинетическую энергию зубчатой передачи при плоском движении:

Задача №16. Материальная точка М движется по вертикали под действием только силы тяжести. Определить через какое время эта точка достигнет максимальной высоты, если её начальная скорость v_о=9,81 м/с.

Решение:

На максимальной высоте конечная скорость будет равна нулю.

Задача №17. Материальная точка массой m=4 кг движется по прямой под действием силы F=30∙sin(t) Н. через время Т=π сек. скорость точки стала равна v=20 м/c и направлена так же как сила. Определить начальную скорость точки v₀.

Решение:

Значение силы зависит от времени, следовательно задачу нужно решать по теореме об изменении количества движения в дифференциальной форме:

Проинтегрируем левую и правую часть: