Задачи по теме: «Плоская система произвольно расположенных сил». Определение опорных реакций, исходя из условия равновесия в аналитической форме.

0. Записать уравнения равновесия в аналитической форме, исходя из заданной расчётной схемы конструкции.

Первая форма уравнений равновесия состоит из системы трёх уравнений равновесия:

 Х_i=0 -сумма проекций всех действующих сил на ось ОХ равна 0.

Y_i=0 -сумма проекций всех действующих сил на ось ОY равна 0.

М_А=0 – сумма моментов всех действующих сил относительно любой точки, например точки А- центра моментов, равна 0.

Проверочное уравнение М_В=0

Вторая форма уравнений равновесия состоит из системы трёх уравнений равновесия, в которой одно из уравнений проекций меняем на уравнение моментов. В качестве уравнения проекций выбирается любая ось кроме перпендикуляра к прямой проходящей через центры моментов.

Х_i=0 -сумма проекций всех действующих сил на ось ОХ равна 0.

 М_А =0 -сумма моментов всех действующих сил относительно точки А =0.

М_В=0 – сумма моментов всех действующих сил относительно точки В =0

Проверочное уравнение Y_i=0

Конструкции в виде консоли, имеющие одну точку опоры лучше решать по первой форме уравнений равновесия.

Балки на двух опорах лучше решать по второй форме уравнений равновесия. Две точки опоры – два уравнения моментов.

Первая форма уравнений равновесия является более универсальной, так как не имеет никаких ограничений на составление уравнений проекций.

Задача №1: Определить реакции связи в точке А.

Р=18 кН,

_{а=3 м, b=3 м, с=7 м, d=2 м.}

Решение. Изображаем реакции связей в точке А : R_YA, R_XA , М_R.

Положительное направление М_R - против часовой стрелки.

Выбираем плоскую декартовую систему координат. Ось ох вправо, ось оу вверх.

Выбираем первую форму уравнений равновесия. Проецируем действующие силы

 Х_i=R_XA + Р=0

Y_i=R_YА=0

М_А=М_R – М - Р∙с=0

 Х_i=R_XA = - Р= -18 кН

Y_i=R_YА=0

М_А=М_R = М+ Р ∙ с=28+18∙7=154 кН∙м

Проверочное уравнение

М_В= М_R – М - R_YА ∙ а + R_XA ∙ с = 154 – 28 - 0∙3 - 18∙7=0

Ответ: реакции связей в точке А R_XA = -18 кН; R_YА=0; М_R=154 кН∙м

Задача №2: Определить реакции связи в точках А.

Р=18 кН, М=17 кН∙м, а=3 м, b=1 м, с=2 м.

Решение . Изображаем реакции связи в точках А и В: R_YA, R_XA, R_YВ.

В точке А опора шарнирно-неподвижная - две реакции связи R_YA, R_XA,

в точке В опора шарнирно-подвижная – одна реакция связи R_YВ.

Выбираем вторую форму уравнений равновесия

 Х_i= R _ХА – Р=0

 М_А = - М - Р ∙с + R_YВ ∙ b = 0

М_В= - М - R_YА ∙ b - R_XA ∙ с = 0

Проверочное уравнение Y_i=0

Х_i= R _ХА = Р =18 кН

_{Проверка:}

Y_i=0

R_YA + R_YВ= -53 + 53 = 0

Ответ: R _ХА=18 кН; R_YА= -53 кН

Задачи по теме: «Пространственная система произвольно расположенных сил». Определение опорных реакций, исходя из условия равновесия в аналитической форме.

Задача №1. Вес груза Q=100 Н, радиус барабана R_б =10 см , ∝=30⁰, а=0,2 м; b=0,2 м; h=0,2м; с=0,5 м.

Найти : силу Р и реакции в подшипниках- R_XA , R_ZA; R_XВ , R_ZВ .

Для пространственной системы сил существует шесть уравнений равновесия в аналитической форме:

 Х_I=0 -сумма проекций всех действующих сил на ось ОХ равна 0.

Y_I=0 -сумма проекций всех действующих сил на ось ОY равна 0.

 Z_I=0- сумма проекций всех действующих сил на ось ОZ равна 0.

 М_X=0 –сумма моментов всех сил относительно на оси ОХ равна 0.

 М_Y =0 -сумма моментов всех сил относительно оси ОУ =0.

М_Z=0 – сумма моментов всех сил относительно оси ОZ =0

Р ешение:

Х_I= R_XA + R_XВ - Q ∙ - Р = 0

 Z_I= R_ZA+ R_ZВ + Q ∙ = 0

М_X= 2R_ZВ ∙ с + с ∙ Q ∙ = 0

 М_Y= -Q ∙ R_б +Р ∙ а=0

 М_Z= - 2R_XВ ∙ с + с ∙ Q ∙

Р =

R_XА = Q∙ +Р - R_XВ =100∙0, 5+50-28, 5=71, 5 Н

R_ZA= - R_ZВ – Q ∙ = -43, 5 -100∙0, 87=130, 5 Н

Задача№2: Диаметры шкивов D₁=40 cм; D₂=50 cм, расстояние от опоры до первого шкива – а=1 м; расстояние от опоры до второго шкива - b=3 м; расстояние между опорами l=4 м; угол α=20⁰; силы натяжения ремней

Т₁=2 кН; Т₂=4 кН; Т₃=5 кН.

Определить: силу натяжения Т₄=? Реакции в опорах R_ХА и R_ZА=?; R_ХВ и R_ZВ=?

Решение:

Х_I= - Т₁∙ - Т₂∙ - Т₃- Т₄ + R_ХА + R_ХВ =0

Z_I= - Т₁∙ - Т₂∙ + R_ZА + R_ZВ =0

М_X= - а Т₁∙ а Т₂∙ +l∙R_ZB =0

М_Y= - Т₃∙D₂/2 + Т₄∙D₂/2 - Т₁∙D₁/2 + Т₂∙D₁/2 =0

М_Z= а Т₁∙ + а Т₂∙ + bТ₃ + bТ₄ - l R_ХВ =0

Решая эти уравнения, находим:

Т₄= 3,4 кН; R_ХА=3,6 кН; R_ZА=4,2 кН; R_ХВ=6,1 кН; R_ZВ=4,2 кН.