§2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
В некоторых случаях формулы для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций.
Приведем несколько очевидных свойств четных и нечетных функций.
Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную есть функция четная.
Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная
Если – четная функция, то
.Если – нечетная функция, то
.
Допустим, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию .
Так как
– функция четная, а
– функция нечетная, то произведение
будет функцией четной, а
– функцией нечетной (свойства I
и II).
На основании свойств III
и IV
получим
,
,
.
Соответственно этому ряд Фурье для четной функции будет иметь вид
.
Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию, то вследствие свойств I и II произведение будет функцией нечетной, а – функцией четной. Поэтому
,
.
Ряд Фурье для нечетной функции будет иметь вид
.
Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.
§3. Разложение в ряд Фурье периодических функций
Пусть функция
,
удовлетворяющая условиям Дирихле, имеет
период
,
т.е.
.
В случае функции , имеющей период , коэффициенты Эйлера-Фурье вычисляются по формулам:
, 
, 
(2)
(8)
В точках разрыва
функции
и в концах
интервала сумма ряда Фурье определяется
аналогично тому, как это имеет место
при разложении в интервале
.
В случае разложения
функции
в ряд Фурье в произвольном интервале
длины
пределы интегрирования в формулах (2)
следует заменить соответственно на
и
.
Пример.
Разложить в ряд Фурье периодическую
функцию
с периодом 2, заданную на отрезке
уравнением
.
Решение.
Рассматриваемая функция является
четной. Ее график – дуга параболы,
заключенная между точками
и
.
Так как
–
четная функция, то и
будет четной функцией. Здесь
,
поэтому
,
.
Интегрируя дважды по частям, получим.
.
.
.
.
Так как рассматриваемая функция – четная, то . Следовательно,
.●
Если функция
задана на отрезке
,
то для разложения в ряд Фурье достаточно
доопределить ее на отрезке
произвольным способом, а затем разложить
в ряд Фурье, считая ее заданной на
сегменте
.
Наиболее целесообразно функцию
доопределить так, чтобы ее значения в
точках сегмента
находилась из условия
или
.
В первом случае функция
на сегменте
будет четной, а во втором – нечетной.
При этом часто говорят, что функция в
интервале
разложена в ряд Фурье по синусам или
косинусам кратных дуг.
Пример.
Разложить функцию
,
заданную на полупериоде
,
в ряд по синусам.
Решение.
Для разложения функции в ряд по синусам
надо ее продолжить на интервал
нечетным образом, затем продолжить
полученную функцию периодически на всю
числовую ось.
; 
Здесь надо принять l = 1 и = 1. Тогда
Итак, ряд Фурье для данной функции имеет вид
.●