§4. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера этого члена, т. е. .

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда при неограниченном возрастании его номера не стремится к нулю, то этот ряд обязательно расходится.

Применение этого следствия часто позволяет быстро убедиться в расходимости некоторых рядов.

Пример 1. +

Решение. Данный ряд расходится, т. к. его общий член при имеет предел, равный 1: .●

Пример 2. .

Решение. Ряд расходится, т. к. = sin не существует.●

Условие является необходимым для сходимости ряда, но не достаточным. То есть существуют расходящиеся ряды, для которых .

Пример 3.

Здесь . Рассмотрим частичную сумму ряда . Так как , , , …, то , или , т.е. .

Отсюда следует, что , и, следовательно, ряд расходится.●

§5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным рядом.

5.1. Признаки сравнения рядов

Теорема 1 (первый признак сравнения рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2), причем члены ряда (1) не превосходят соответствующих членов ряда (2),т. е. (n = 1, 2, 3, …). Тогда:

1) Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится,

2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится.

Замечание. Признаки сравнения применимы и в том случае, когда условие выполняется не при всех n, а лишь начиная с некоторого n = N.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Оценим общий член данного ряда: . Ряд с общим членом сходится (геометрический ряд). По теореме 1(п.1) данный ряд также сходится.●

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд

,

который расходится (см. пример 3, §4). Так как

,

то по теореме 1(п.2) данный ряд также расходится. ●

Теорема 2 (второй признак сравнения рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от нуля, предел отношения общих членов этих рядов: , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Смысл этого признака состоит в том, что если общий член ряда (1) и общий член ряда (2) являются бесконечно малыми одного и того же порядка (при ), то сходимость одного из этих рядов влечет сходимость другого (а значит, и, наоборот, расходимость одного влечет расходимость другого).

При исследовании сходимости рядов с помощью признаков сравнения необходимо иметь для сравнения ряды, относительно которых известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов часто используют геометрический ряд, а также

– обобщенный гармонический ряд,

который сходится при и расходится при . Это будет доказано ниже.

При получается

– гармонический ряд.

Пример 1. Исследуем сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд , который сходится.

Вычисляем . Значит, по теореме 2 данный ряд сходится. ●

Пример 2. Исследуем сходимость ряда

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд , который расходится.

Вычисляем . Значит, по теореме 2 данный ряд расходится. ●