§7. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Рассмотрим общий случай знакопеременного ряда

,

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для таких рядов имеет место общий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Теорема. Если для знакопеременного ряда

ряд, составленный из абсолютных величин его членов

сходится, то данный знакопеременный ряд также сходится.

Пример 1. Исследуем на сходимость знакопеременный ряд

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда

Этот ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с показателем . Следовательно, на основании достаточного признака сходится и данный ряд. ●

Пример 2. Рассмотрим знакочередующийся ряд

,

который сходится по признаку Лейбница. Но ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда

является гармоническим и, следовательно, расходится.●

Определение 1. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Ряд, рассмотренный в примере 1, является абсолютно сходящимся, в примере 2 – условно сходящимся.

Теорема 1. Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется от любой перестановки его членов.

Теорема 2. Два абсолютно сходящихся ряда можно перемножать по правилу умножения конечных сумм. Полученный в результате умножения ряд абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.

§8. Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся ряд

(1)

Его сумма , где .

Определение. Разность между суммой ряда и его -ой частичной суммой называется -ым остатком сходящегося ряда.

Остаток ряда обозначается :

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда его частичной суммой равна модулю остатка ряда:

.

Таким образом, если требуется найти суму ряда с точностью до , то надо взять сумму такого числа первых членов ряда, чтобы выполнялось неравенство .

Теорема. Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то его -ый остаток по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов:

.

Пример. Найти с точностью до 10^-3 сумму ряда .

Ряд сходится, т. к. удовлетворяет всем условиям признака Лейбница.

По правилу оценки погрешности вычисления надо взять столько членов, чтобы выполнялось неравенство

.

Тогда остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет также меньше 10^-3.

Следовательно, решаем неравенство:

.

Это неравенство удовлетворяется уже при : .

Следовательно, начиная с члена , можно отбросить все члены ряда и вычислить только первые пять членов ряда.

.●

Глава 2. Функциональные ряды

§1. Основные понятия

Определение. Выражение

, (1)

называется функциональным рядом относительно переменной х.

Придавая какое-либо значение из области определения функций , получим числовой ряд

(2)

Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда (1). Для одних точек, взятых из области определения функций , ряд может сходиться, а для других – расходиться.

Определение. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Частичная сумма функционального ряда, т.е. сумма первых его членов

(3)

является функцией переменной .

Каждому значению из области сходимости соответствует определенное значение величины . Эту величину обозначают через и называют суммой функционального ряда. Итак, сумма функционального ряда есть некоторая функция переменной , определенная в области сходимости ряда.

В этом случае пишут

Если функциональный ряд сходится и имеет сумму , то, как и для числовых рядов величина

называется остатком функционального ряда.

В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости положительных рядов, считая фиксированным и заменяя исходный исследуемый ряд (1) рядом из его абсолютных величин.

Пример 1. Найти область сходимости ряда

.

Решение. Если , то ; так как , то ряд расходится. Если , то также получаем расходящийся ряд .

Если , то члены заданного ряда меньше членов геометрического ряда со знаменателем , т.е. ряд сходится.

Итак, область сходимости ряда определяется неравенством . Отсюда следует, что ряд сходится, если или .●