5.2. Признак Даламбера

Теорема. Если для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании п, т.е.

,

то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Пример 1. Выясним, сходится ли ряд .

Решение. Имеем .

Вычисляем .

На основании признака Даламбера данный ряд сходится. ●

Пример 2. Исследуем сходимость ряда .

Решение. Имеем .

Вычисляем

На основании признака Даламбера данный ряд расходится. ●

Замечание. В тех случаях, когда или не существует, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о том, сходится или расходится ряд.

При этом ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. В этом случае применяются другие признаки.

Пример. Исследуем сходимость ряда .

Решение. Имеем .

Вычисляем .

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда. По первому признаку сравнения: при всех значениях n, а ряд с общим членом сходится. Следовательно, данный ряд сходится. ●

5.3. Радикальный признак Коши

Теорема. Если для знакоположительного ряда существует предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Пример. Выясним, сходится ли ряд .

Решение. Вычисляем

.

На основании радикального признака Коши ряд сходится. ●

Замечание. Если не существует или равен 1, то признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

5.4. Интегральный признак Коши

Теорема. Пусть дан знакоположительный ряд (1). Если существует положительная, непрерывная, монотонно убывающая на функция , такая, что , , … , … то

1) Ряд (1) сходится, если интеграл сходится;

2) Ряд (1) расходится, если интеграл расходится.

Пример 1. Исследуем сходимость ряда .

Решение. – непрерывная при функция, убывает с возрастанием х.

Несобственный интеграл сходится, следовательно, данный ряд сходится. ●

Пример 2. Исследуем на сходимость ряд , где .

Решение. Рассмотрим . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы, рассмотренной выше. Вычислим

а) пусть , тогда при и интеграл

.

На основании интегрального признака Коши ряд расходится.

б) пусть , тогда

.

На основании интегрального признака Коши ряд расходится.

в) пусть , тогда при и интеграл

.

На основании интегрального признака Коши ряд сходится. ●

§6. Знакочередующиеся ряды

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака. Ряд, в котором за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный, называют знакочередующимся.

Обозначим – абсолютные величины членов ряда. Будем считать, что первый член ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде:

(1)

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) , 2_ , то ряд сходится и его сумма .

Или: если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают, и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится, и его сумма не превосходит членов ряда.

Пример. Исследуем, сходится или расходится ряд

Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ,

2) .

Следовательно, ряд сходится.●