Тематика практических работ

практические работы

по курсу "Математика и информатика"

Работа 1. Написание реферата на тему «Аксиоматический метод в математике. Применение аксиоматического метода в математике и гуманитарных науках».

Работа 2. Элементы теории множеств. Операции над множествами.

Работа 3. Вероятность события. Основные формулы и теоремы теории вероятностей.

Работа 4. Геометрический метод решения задач линейного

программирования.

Порядок выполнения контрольной работы

Работа 1. Написание реферата на тему «Аксиоматический метод в математике. Применение аксиоматического метода в математике и гуманитарных науках»

Цель работы:

Изучение аксиоматической теории и ее приложений. Ниже приводится авторский материал по обозначенной теме. Отметим, что работа никоим образом не должна ограничиваться этим материалом, хотя бы потому, что нераскрыто направление «Применение аксиоматического метода в гуманитарных науках».

Аксиоматические системы

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод – один из способов дедуктивного построения научных теорий, при котором:

1) выбирается некоторое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом);

2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории;

3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других;

4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древней Греции (Элеаты, Платон, Аристотель, Евклид).

Рисунок 1 – Платон

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EB%E0%F2%EE%ED]

Рисунок 2 – Евклид

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%DD%E2%EA%EB%E8%E4]

В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др.).

Рисунок 3 – Спиноза

[http://www.eleven.co.il/article/13923]

Рисунок 4 – Ньютон

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD,_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA]

История аксиоматики

Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной); при этом основное внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом. Начиная со второй половины 19 в., в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30 гг. 20 в. – как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, которые ей удовлетворяют. При этом основное внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т. д. В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, которое может быть в них представлено, или о его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания). Это различение вызвало необходимость формулирования основных требований, предъявляемых к ним, в двух планах: синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т. д.). Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, главной из которых является доказанная Гёделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр., арифметики натуральных чисел) , откуда следует невозможность полной формализации научного знания. Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно; Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, а частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок. В последние 30-40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др., включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. метод выступает в форме гипотетико-дедуктивного метода (см. также Формализация).

Аксиоматический метод как способ построения научной теории

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) – аксиомы, или Постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Назначение А. м. состоит в ограничении произвола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории. Построение науки на основе А. м. обычно называется дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений (См. Определение), выражающих (или разъясняющих) их через ранее введённые понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во многих науках. Но, несмотря на попытки систематического применения А. м. к изложению философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), политической экономии (К. Родбертус-Ягецов), биологии (Дж. Вуджер) и др. наук, главной областью его приложения до сих пор остаются математика и символическая логика, а также некоторые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).

Первая стадия развития аксиоматического метода

А. м прошёл в своём историческом развитии 3 стадии. Первая связана с построением геометрии в Древней Греции. Основное сочинение этого периода – «Начала» Евклида (хотя, по-видимому, и до него Пифагор, которому приписывается открытие А. м., а затем Платон и его ученики немало сделали для развития геометрии на основе А. м.). В то время считалось, что в качестве аксиом должны выбираться суждения, истинность которых «самоочевидна», так что истинность теорем считалась гарантированной безупречностью самой логики. Но Евклиду не удалось ограничиться чисто логическими средствами при построении геометрии на основе аксиом. Он охотно прибегал к интуиции в вопросах, касающихся непрерывности, взаимного расположения и равенства геометрических объектов. Впрочем, во времена Евклида такие обращения к интуиции могли и не восприниматься как выход за пределы логики — прежде всего потому, что сама логика не была ещё аксиоматизирована (хотя частичная формализация логики, осуществленная Аристотелем (См. Аристотель) и его последователями, и была некоторым приближением к аксиоматизации). Не было и достаточной отчётливости во введении первоначальных понятий и при определении новых понятий.

Рисунок 5 – Пифагор

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80]

Вторая стадия развития аксиоматического метода

Начало второй стадии в истории А. м. связывают обычно с открытием Н. И. Лобачевским, Я. Больяй и К. Ф. Гауссом возможности построить непротиворечивым образом геометрию, исходя из систем аксиом, отличной от евклидовой.

Рисунок 6 – Николай Лобачевский

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%CB%EE%E1%E0%F7%E5%E2%F1%EA%E8%E9]

Это открытие разрушило убеждение в абсолютной («очевидной» или «априорной») истинности аксиом и основанных на них научных теорий. Теперь аксиомы стали пониматься просто как исходные положения данной теории, вопрос же об их истинности в том или ином смысле (и выбор в качестве аксиом) выходит за рамки аксиоматической теории как таковой и относится к её взаимоотношению с фактами, лежащими вне её. Появилось много (и притом различных) геометрических, арифметических и алгебраических теорий, которые строились средствами А. м. (работы Р. Дедекинда, Г. Грасмана и др.). Эта стадия развития А. м. завершилась созданием аксиоматических систем арифметики (Дж. Пеано, 1891), геометрии (Д. Гильберт, 1899), исчисления высказываний и предикатов (А. Н. Уайтхед и Б. Рассел, Англия, 1910) и аксиоматической теории множеств (Э. Цермело, 1908).

Гильбертовская аксиоматизация геометрии позволила Ф. Клейну и А. Пуанкаре доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского относительно евклидовой геометрии посредством указания интерпретации понятий и предложений неевклидовой геометрии в терминах геометрии Евклида, или, как говорят, построения модели первой средствами второй. Метод моделей (интерпретаций) стал с тех пор важнейшим методом установления относительной непротиворечивости аксиоматических теорий. В то же время со всей отчётливостью выявилось, что, кроме «естественной» интерпретации (т. е. той, ради уточнения и развития которой данная теория строилась), у аксиоматической теории могут быть и др. интерпретации, причём её можно с равным основанием считать «говорящей» о каждой из них.

Третья стадия развития аксиоматического метода

Последовательное развитие этой идеи и стремление точно описать логические средства вывода теорем из аксиом привели Гильберта к концепции формального А. м., характерной для третьей, современной его стадии. Основная идея Гильберта – полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются просто как последовательности знаков (формулы), не имеющие как таковые никакого смысла (который они приобретают лишь при некоторой конкретной интерпретации). Это относится и к аксиомам – как общелогическим, так и специфическим для данной теории. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные правила вывода (например, т. н. правило modus ponens – «правило зачёркивания», позволяющее получить В из А и «А влечёт В»). Доказательство в такой теории (исчислении) или формальной системе – это просто последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом обсуждаются – а иногда их удаётся и доказать – содержательными средствами т. н. метатеории, т. е. теории, рассматривающей данную («предметную») теорию как предмет изучения. На языке метатеории (метаязыка) формулируются и правила вывода предметной теории. По замыслу Гильберта, в рамках созданной им теории доказательств, т.е. допуская в метатеории только т. н. финитные способы рассуждения (не использующие ссылки ни на какие объекты, не имеющие конечного построения), можно было бы доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики (т. е. доказуемость каждой формулы, истинной при некоторой определённой интерпретации). Несмотря на ряд значительных результатов в этом направлении, гильбертовская программа в целом (её обычно называют формализмом) невыполнима, т. к., согласно важнейшему результату К. Гёделя (См. Гёдель) (1931), всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна (т. н. теорема о неполноте). Теорема Гёделя свидетельствует об ограниченности А. м. (хотя определённые расширения допускаемых метатеоретических средств и позволили немецкому математику Г. Генцену, П. С. Новикову и др. математикам получить доказательство непротиворечивости формализованной арифметики).

А. м. подвержен также критике, исходящей из различных семантических критериев. Так, интуиционисты (Л. Э. Я. Брауэр, Г. Вейль и др.) не признают обоснованности в применении к бесконечным множествам принципа исключенного третьего, между тем этот принцип не только берётся в качестве логической аксиомы в большинстве формальных теорий, но и используется по существу (хотя и неявно) в основных предпосылках гильбертовской программы, согласно которой непротиворечивость теории – достаточное условие её «истинности». Как и интуиционизм, конструктивное направление в математике (в СССР – А. А. Марков и Н. А. Шанин) считает назначением математики изучение не произвольных моделей непротиворечивых формальных систем, а лишь совокупностей объектов, допускающих в определённом смысле эффективное построение.

Ещё более существенные возражения против А. м. выдвигает ультраинтуиционистская критика, ставящая под сомнение единственность натурального ряда чисел и, тем самым, однозначную определённость понятия теоремы формальной системы. Согласно этой критике, А. м. основан на «принципе локальности для доказательств», предполагающем, что если аксиомы истинны и правила вывода сохраняют истинность, то истинными непременно должны быть и теоремы. Т. о., интуитивное обоснование общеупотребительного принципа математической индукции, согласно ультраинтуиционистской критике, содержит неустранимый порочный круг. Ультраинтуиционизм, не ограничиваясь критикой, предлагает и положительную программу преодоления указанных трудностей.

Общие указания.

Поиск информации по данному вопросу осуществлять самостоятельно, используя соответствующую литературу, Интернет и другие источники.

Объем работы не должен быть менее 10 страниц самостоятельно найденного материала.

Работа 2. Элементы теории множеств. Операции над множествами.

Цель работы:

Изучение начальных положений теории множеств и практика работ с дискретными множествами.

Ниже приводятся некоторые положения теории множеств.