Минобрнауки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ, МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ

Кафедра прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Алгоритм Метрополиса в вопросах интегрирования методом Монте-Карло

Выполнил

студент 3 курса, группы ПМИ-31

Булдаков С. А.

_______________

Научный руководитель

канд. пед. наук

Соколова А. Н.

________________

Киров

2014

Оглавление

Оглавление 2

Введение 3

Глава 1. Метод Монте-Карло 4

1.1. Понятие метода 4

1.2. Алгоритм Метрополиса 5

Глава 2. Реализация алгоритма Метрополиса 7

2.1. Программная реализация алгоритма 7

2.3. Анализ результатов эксперимента 7

Заключение 9

Библиографический список 10

Приложение 11

Введение 3

Глава 1. Метод Монте-Карло 4

1.1. Понятие метода 4

1.2. Алгоритм Метрополиса 5

Глава 2. Реализация алгоритма Метрополиса 6

2.1. Программная реализация алгоритма 6

2.3. Анализ результатов эксперимента 6

Заключение 8

Библиографический список 9

Приложение 10

Введение

В данной работе рассматривается метод Монте-Карло интегрирования функций многих переменных. В силу своей общности этот метод интересен не только в физических приложениях, но также может быть применен для широкого класса чисто математических задач.

Цель работы: используя компьютерный эксперимент, исследовать принцип работы алгоритма Метрополиса и применить его к интегрированию функций многих переменных.

Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие задачи:

1. Изучить теоретические сведения об алгоритме Метрополиса.

2. Написать программу, реализующую метод Монте-Карло для численного интегрирования.

3. Провести анализ результатов тестирования программы и сформулировать выводы.

Глава 1. Метод Монте-Карло

1.1. Понятие метода

Рассмотрим систему из N частиц описываемой функцией гамильтониана , гдезадает все степени свободы одной частицы (например). Векторзадает одно состояние системы. Множество состояний системы составляет доступное ей фазовое пространство Ω. Тогда среднее значение величины A, являющейся функцией состояния системы, дается интегралом

(1.1)

где p — функция распределения, а в знаменателе находится статистическая сумма (1.2)

Если система состоит из небольшого числа частиц и размерность пространства Ω мала, то интеграл (1.1) можно вычислить, используя обычные формулы для приближенного численного вычисления интегралов с заданной точностью. Однако при большом N, когда кратность интеграла становится большой, такой подход малопродуктивен, т.к. затраты на вычисления зависят экспоненциально от N.

Другой способ, носящий имя метода Монте Карло, основан на стохастическом переборе точек в фазовом пространстве с предпочтительной выборкой тех областей из Ω, которые дают существенный вклад в интеграл (1.1). Таким образом, в соответствии с функцией распределения p генерируется цепь состояний в фазовом пространстве.

При количестве элементов в цепи, стремящемся к бесконечности, мы получаем точное значение интеграла. При конечной же длине цепи погрешность такого способа вычисления интеграла гораздо меньше погрешности получаемой обычными методами при тех же затратах.

Обычно генерируется марковская цепь, т.е. такая последовательность, в которой последующее состояние зависит только от настоящего состояния и не зависит «от прошлого». Математически это означает, что условная вероятность P(R_n|Rn−1, ..., R0) появления состояния Rn после последовательности Rn−1, ..., R0 равна вероятности P(Rn|Rn−1).

Примером Марковской цепи может служить [5].

Одномерное дискретное случайное блуждание — это случайный процесс с дискретным временем, имеющий вид

,

где

—начальное состояние;

;

случайные величины совместно независимы.