Численное дифференцирование

Для численного дифференцирования MathCAD применяет довольно сложный алгоритм, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7-8-го знака после запятой. Этот алгоритм (метод Риддера) описан во встроенной справочной системе MathCAD, доступной через меню Help (Справка). Погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL или CTOL, в противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом. Исключение составляют функции, которые дифференцируются в окрестности сингулярной точки; например функции f(x)=l/x это будут точки вблизи х=о. При попытке найти ее производную при х=о будет выдано сообщение об одной из ошибок деления на ноль "Can't divide by zero" (Деление на ноль невозможно) или "Found a singularity while evaluating this expression. You may be dividing by zero" (Найдена сингулярность при вычислении этого выражения. Возможно, вы делите на ноль) Если попробовать численно определить производную очень близко к нулю, например, при х=10100, то может появиться сообщение об ошибке "Can't converge to a solution" (Невозможно найти решение). Встретившись с одной из упомянутых ошибок, присмотритесь повнимательнее к дифференцируемой функции и убедитесь, что вы не имеете дело с точкой сингулярности.

В заключении этой главы хочу привести пример ТИПИЧНОЙ ОШИБКИ:

Как вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению. Однако в некоторых случаях при его вводе следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример:

Его первые две строки вычисляют производную cos(x) в точке х=0.5. Последняя строка демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования. Вместо вычисления производной cos(x) в той же точке, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось потому, что аргумент функции cos(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому MathCAD воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения косинуса в точке х=0. 5, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=0.5, в соответствии с требованием первой строки. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен - в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.

Глава III

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ.

В начале данной главы, считаю необходимым поместить краткую математическую справку, так как думаю, что большинство читателей не помнят наизусть ни только плана исследования функции, ни, уж тем более, многих математических формул и выкладок. Поэтому, чтобы не затруднять поисками читателей в разных математических справочниках, и, чтобы не быть голословным, привожу далее основные математические данные, необходимые для понимания этой главы. Я ограничился самыми минимальными рассуждениями, необходимыми для понятия данной главы.

В чём же состоит основная задача исследования функции? Как я считаю, что эта задача является выполненной, когда по найденным аналитическим путём данным (максимумов, минимумов, промежутков возрастания, и т. д.), мы знаем поведение функции на всех промежутках интервала, на котором она определена, т. е., можем построить её график. Поэтому, прежде чем пытаться исследовать функцию на MathCADе, советую на первое время проанализировав её вручную и построив график, сравнить полученные результаты с графиком, построенным MathCAD. Если видно несоответствие, следует искать ошибку (прежде всего у себя, т. к. вероятность ошибки MathCAD мала – он строит графики, разлагая функции в ряд и аппроксимируя их).

В принципе, в MathCAD, для того, чтобы построить график, необязательно исследовать функцию. Можно всё сделать буквально нажатиями трёх кнопок (описано ниже). Но это не интересно. Гораздо интереснее, сначала проанализировав функцию (возможностями программы), прикинуть её график, а потом построить его, и посмотреть, всё ли в порядке.