График:

6. Равновесие Нэша в смешанных стратегиях. Определение. Предпосылки для использования. Привести пример игры, найти в ней множество всех равновесий в чистых и смешанных стратегиях. Проиллюстрировать решение на графике лучших ответов.

Равновесие Нэша в смешанных стратегиях – такой исход (р₁^*_…р_n^*), где p_i^*=BR; (p_-i^*) Ұ_i =1n (для любого p_-i игрока).

Предпосылки для использования – если РНЧС нет или оно не единственно, то может существовать равновесие в смешанных стратегиях. Смешанная стратегия войдет в равновесие, если другой игрок, в ответ на эту смешанную стратегию, будет получать одинаковый выигрыш от любых собственных действий. Соответственно, у игроков не будет необходимости думать о том, какие стратегии играть в ответ на смешанное равновесие.

Игра «Семейный спор»

7. Позиционные игры с совершенной информацией. Определение совершенной информации. Определение чистой стратегии в игре с СИ. Метод обратной индукции. Привести пример позиционной игры с СИ. Найти решение методом обратной индукции.

Игра в позиционной форме называется игрой с совершенной информацией, если каждое информационное множество состоит из единственной вершины. В противном случае игра называется игрой с несовершенной информацией.

Совершенная информация – ситуация в игре, когда все информационные множества состоят не более чем из одного узла.

Чистая стратегия в игре с СИ – это полный набор действий игрока в каждом узле.

Метод обратной индукции - это метод поиска решения в позиционных играх с совершенной информацией. Для того, чтобы найти решение, надо посмотреть на самые последние узлы, выяснить как там будет вести себя игрок, принимающий решение. Обратиться к предыдущим узлам, принять решение исходя из знания о поведении соперника в следующих узлах.

8. Теорема Цермело. Преимущество хода. Привести пример игры, удовлетворяющей условиям тц. Найти решение. Сделать вывод относительно преимущества.

Теорема Цермело. Если есть игра, в которой 2 игрока, они обладают совершенной информацией, в игре конечное число ветвей и узлов, и выигрыш каждого игрока соответствует победе, поражению или ничьей, то

• Существует такая стратегия 1го игрока, которая обеспечивает ему победу

• Если такой стратегии нет, то есть другая стратегия 1го игрока, которая обеспечивает ему ничью.

• Если и таковой стратегии нет, то существует такая стратегия 2го игрока, которая обеспечивает ему победу.

Пример: игра «Кучки»

Есть 2 кучки, в которых лежат палочки. 2 игрока ходят по очереди и могут убрать любое количество палочек из одной кучки. Проигрывает тот, кто последний убирает 1 палочку.

Кучка А IIIIII кучка В IIII

Решение. Если количество палочек разное в кучках, то 1й игрок должен уравнивать их количество => есть преимущество первого хода: кто ходит первым, тот и выигрывает.

Если количество палочек в кучках одинаковое, то есть преимущество второго хода.

Таким образом,

1. Мы всегда знаем кто выиграет

2. Задачу можно решить обратной индукцией

3. Возможно разное преимущество в зависимости от постановки задачи ( равное или нет количество палочек).

9. Позиционные игры с несовершенной информацией. Определение информационного множества. Определение несовершенной информации. Определение чистой стратегии в игре с НИ. Привести пример игры с несовершенной информацией. Найти решение.

Информационное множество – это множество узлов i-того игрока, которые для него неразличимы.

Несовершенная информация – ситуация в игре, когда есть хотя бы 1 информационное множество с более чем 1 узлом.

Чистая стратегия в игре с НИ – это полный план действий игрока в каждом информационном множестве.

з апишем стратегии игроков: s₁ ={L, R1, R2} s₂= {A, B}

запишем игру в нормальной форме и найдем равновесия Нэша

	A	B
L	2; 2	2; 2
R1	0; 0	5; 1
R1	0; 0	1; 3

II

I

РН (L; A), (R1;B)

10. Совершенное подыгровое равновесие Нэша. Определение. Понятие подыгры. Привести пример позиционной игры и найти в ней множество.

Совершенное подыгровое равновесие Нэша (СПРН) – равновесие, которое содержит Равновесия Нэша во всех подыграх. Это стратегия, который определяет равновесие Нэша для каждой подыгры в заданном дереве.

Подыгра – часть игры, которая начинается с узла, соединяет все узлы, не разрывает информационных множеств и не совпадает со всей игрой.

Для нахождения равновесия СПРП в случае, когда нельзя применить метод обратной индукции требуется составить матрицу каждой подыгры.

Если подыгр нет, то любое равновесие по Нэшу является совершенным в

подыграх.

Несколько узлов одного игрока, соединенные пунктирной линией, – это

информационное множество, т.е. те узлы, которые игрок не умеет отличать. Попав в один из них, игрок не знает, где точно он находится, поэтому такая информация называется несовершенной.

Пример:

Методом Обратной индукции (ОИ) = (Uu; l)

S1 принадлежит { U;D} * {u;d} = {Uu; Ud; Du; Dd}

S2 принадлежит {l;r}

	l	r
Uu	4;3	1;2
Ud	3;1	1;2
Du	2;1	2;1
Dd	2;1	2;1

(Uu; l) - СПРН

(Du; r) - X

(Dd; r) - X

Судя по ПИ1 и ПИ2 равновесия недостижимы.

ПИ1

d	4
u	3

• Выбираем U

ПИ2

	l	r
u	4;3	1;2
d	3;1	1;2

• Выбираем (U; l) и (d; r)