2.9. Расчет токов короткого замыкания в электрической сети

Формулировка задачи.

Для схемы ЭЭС (рис. 9.1) при трехфазном коротком замыкании поочередно в точках к-1 и к-2 определить:

• наибольшее действующее значение тока в месте короткого замыкания;

• действующее значение тока через 2 и 4 периода после возникновения короткого замыкания.

(Задача 1-17: Ульянов С. А. Сборник задач по электромагнитным переходным процессам в электрических системах. - М.: Энергия, 1968).

Рис. 9.1. Принципиальная схема ЭЭС

Возле шин подстанций указаны номинальные напряжения, кВ

Справочные данные по элементам схемы ЭЭС:

• С-1 и С-2 - системы бесконечной мощности с неизменными напряжениями, соответственно 500 кВ и 115 кВ;

• АТ-1 - автотрансформатор мощностью 250 МВА, 500/242/38,5 кВ, U_кВС = 10,4 %, P_кВС = 750 кВт;

• АТ-2 - автотрансформатор мощностью 180 МВА, 230/115/11 кВ, U_кВС = 12,2 %, P_кВС = 715 кВт;

• Т - трансформатор мощностью 90 МВА, 220/6,6 кВ, U_к = 14,5 %, P_к = 480 кВт;

• Л-1 - ЛЭП 220 кВ, длина 150 км, две цепи, провод марки АСО-300, r₀ = 0,108 Ом/км, x₀ = 0,407 Ом/км;

• Л-2 - ЛЭП 220 кВ, длина 50 км, одна цепь, провод марки АСО-240, r₀ = 0,131 Ом/км, x₀ = 0,4 Ом/км.

Математическая модель.

Ограничения и допущения.

• Параметры трехфазной системы являются симметричными и линейными.

• Не учитываются нагрузки, токи намагничивания трансформаторов, емкостные проводимости и взаимные индуктивности ЛЭП.

• Сдвиг по фазе источников питания не учитывается.

Схема замещения.

Схема замещения, рис. 9.2., состоит из ветвей типа r, L.

Рис. 9.2. Схема замещения ЭЭС

Переходный ток короткого замыкания.

Переходный ток трехфазного короткого замыкания в сети определяется суммой установившегося и свободного токов, определенных для случая подключения цепи r, L к источнику синусоидальной ЭДС при нулевых начальных условиях (токи нагрузки и емкостные проводимости ЛЭП не учитываются по условию)

В простейшем случае выражение для переходного тока в цепи r, L имеет вид [9]:

где  - фаза ЭДС в момент включения цепи;

T = L/r - постоянная времени затухания процессов;

 = 2f;

f - частота переменного тока.

В случае сложной схемы цепи необходимо составление и решение систем уравнений узловых напряжений или контурных токов или применения приемов эквивалентирования цепи и преобразования ее к простейшему случаю последовательной цепи r, L.

Выполним расчет установившегося режима короткого замыкания путем решения уравнений узловых напряжений (УУН), т. е. найдем напряжения в независимых узлах сети в режиме трехфазного короткого замыкания в заданной точке

Установившийся ток короткого замыкания.

Действующие значения периодических составляющих напряжений в независимых узлах (рис. 9.3) при коротком замыкании могут быть определены по УУН

где Y - матрица узловых проводимостей, которая составляется с учетом расположения точки короткого замыкания;

U - матрица-столбец узловых напряжений;

J - задающие токи узлов.

Базисным узлом при формировании УУН является нейтральная точка трехфазной системы, к которой присоединены поперечные ветви схемы замещения, а именно ветви содержащие ЭДС и ветвь, включенная на точку короткого замыкания.

Расчетные схемы.

Расчетная схема сети, для которой составляется УУН, включает независимые узлы, в которых определяются напряжения в режиме короткого замыкания (рис. 9.3).

Задающие токи узлов определяются по выражениям:

Действующие значения периодических составляющих токов короткого замыкания для точек к-1 и к-2 соответственно определяются по выражениям:

изменение установившегося тока во времени будет

При  -  = /2 в момент времени t = 0 i(0) имеет максимальное по модулю значение.

что соответствует наиболее тяжелому моменту включения цепи на короткое замыкание (короткое замыкание в момент минимума ЭДС).

Рис. 9.3. Расчетные схемы: а - для точки к-1, б - для точки к-2

(независимыми узлами для схемы а являются узлы 1 и 2,

для схемы б - 1. 2 и 3)

Свободная составляющая тока короткого замыкания.

Расчет свободной составляющей тока короткого замыкания можно выполнить операторным методом путем эквивалентирования цепи относительно точки короткого замыкания. Операторное уравнение для эквивалентной цепи записывается в виде:

где I(p) - изображение тока в цепи;

Z(p) - эквивалентное операторное сопротивление цепи;

E(p) - изображение ЭДС.

При определении свободной составляющей в относистельных единицах, полагая

и

имеем

что при простых корнях уравнения F₂(p) = 0 дает оригинал i(t)

Начальные значения частных свободных токов (для каждого p_k) пропорционально величинам по оператором  для t = 0. Для двух корней:

При рассмотрении наиболее тяжелого момента короткого замыкания сумма начальных свободных токов будет уравновешивать амплитуду периодической составляющей тока, поскольку предшествоваший ток в цепи короткого замыкания отсутствовал. Если амплитуду периодической составляющей принять за единицу, то частные свободные токи в долях от такой единицы будут:

Результирующий ток короткого замыкания.

Для  -  = /2 имеем

Действующие значения токов для заданных моментов времени t_i получаются по выражению