5.1.Энергия Ферми.

Энергия электронов в твердом теле почти та же, что и энергия электрона в свободных атомах. Однако вследствие перекрывания волновых функций в кристалле происходит переход электронов от атома к атому. Он представляет собой фактическое перемещение электронов в пространстве; следовательно, этому процессу соответствуют трансляционный импульс и трансляционная энергия, которые добавляются к импульсу и энергии электронов свободных атомов. Полная энергия электрона является суммой этих двух энергий, т. е.

Е_полн= Е_атом+Е_транс (7.1)

В этом выражении Е_атом представляет собой энергию электрона на атомной орбите, а Е_транс кинетическую энергию перехода электрона от атома к атому. Конечно, Е_атом не равняется соответствующему энергетическому уровню электрона в свободном атоме, так как волновые функции электронов в атомах, в твердом теле, искажены по сравнению с функциями электронов свободных атомов. В общем случае Е_атом меньше энергии электрона в свободном атоме; это очевидно из того факта, что атомы при образовании твердого тела притягиваются друг к другу. На рис.4.1 отмечены некоторые важные характеристики энергетического спектра электронов. Состояние, обозначенное Е_атом, должно быть наинизшем энергетическим состоянием, так как энергия Е_транс всегда положительна. Уровни энергии электронов, обладающих трансляционной энергией, расположены выше Е_атом. Эти электроны находятся на уровнях, названных на схеме занятыми. Энергия электронов с наивысшей скоростью трансляционного движения называется энергией Ферми Е_f Выше Е_f существует область возможных состояний, соответствующих трансляционному движению вплоть до некоторого наивысшего уровня с энергией Е_max, называемого потолком энергетической зоны. Наличие максимальной энергии E_max следует из того факта, что в зоне содержится всего Ng_n уровней (g_n-кратность вырождения). Если кроме чисто атомного состояния электрона, расположенного на дне зоны, добавлены Ng_n трансляционных состояний, то число уровней исчерпано и больших

,

Рис.4.1. Схема энергетических уровней частично заполненной зоны.

значений энергии в зоне быть не может. В металле энергия наивысшего уровня E_f является отрицательной величиной (рис.4.1). Трансляционная часть этой энергии, называемая кинетической энергией Ферми (на рисунке выделена интервалом) – положительная величина, поскольку она отсчитывается от дна зоны Е_атом. Трансляционная энергия и импульс (р) связаны известным соотношением

Е= , (8.1)

где m-масса электрона.

Зона в целом состоит из Ng_n уровней. Следовательно, уровни энергии представляют собой дискретный, но плотно упакованный набор. Чтобы каждое из (дискретных) трансляционных состояний можно было отличить от всех остальных, эти состояния должны отличатся друг от друга по импульсу на величину определяемую принципом неопределенности.

Число квантовых состояний в трехмерном импульсном пространстве в интервале dp_xdp_ydp_z (рис. 5.1) определяется выражением:

dФ=2 , (9.1)

где h³-объем элементарной ячейки фазового пространства, а множитель 2 учитывает две возможные проекции спина.

Величина энергии Ферми определяется условием:

n= (10.1)

где n- плотность электронов (число электронов в единице объема).

Введем в пространство импульсов сферическую систему координат, в которой:

dp_xdp_ydp_z=p²dpsin d d . (11.1)

С учетом (11.1) равенство (10.1) принимает вид:

n= (12.1)

Рис. 5.1. Элемент объёма соответствующий неопределенности трансляционного состояния в пространстве импульсов.

При вводе, новой переменной, с использованием равенства:

р²=2mE, p= dp=

получим:

n= , (13.1)

где,

N(E)= , (14.1)

плотность состояний на интервал энергии (E, E+dE)

При Т=0 функция распределения (рис. 3.1) равна 1 при E<E_f, равна нулю при E>E_f и имеет вид ступеньки. С учетом этого следует:

n= , (15.1)

и при Т=0 энергия Ферми определится как:

E_f= (16.1)

Из (16.1) следует, что кинетическая энергия Ферми, зависит только от плотности электронов. Заметим также, что кинетическая энергия Ферми, определяемая выражением (16.1), представляет собой наибольшую трансляционную энергию электронов у верхней границы данного распределения и, следовательно, позволяет количественно определить ширину зоны через число электронов в ней. Величина (E_f) для простейших металлов с одним s-электроном (щелочные металлы Li, Na, К и др.) составляет приблизительно 3-5 эВ.