4.1.Статистика электронов в кристаллической решетке металла.

Поскольку электроны не локализованы и описываются с помощью понятий, относящихся ко всему кристаллу, можно попытаться рассматривать их как свободные частицы и пользоваться статистикой Болъцмана, которой, как известно, подчиняются частицы газа в заданном объеме. Однако в системе, которая описывается статистикой Больцмана, частицы должны вести себя классическим образом, т. е. они должны распределяться по возможным состояниям так, чтобы не было дальнодействующих сил, коррелирующих с энергетическими состояниями частиц. Это условие можно сформулировать по-другому: среднее расстояние между частицами должно быть большим по сравнению с их дебройлевской длиной волны. Посмотрим, как выполняется это условие в случае газообразного водорода (при нормальных условиях) и в случае электронов в металле. Воспользуемся формулой де Бройля:

 (1.1)

тепловая скорость атомов газа равна:

v= , (2.1)

(здесь М = 1836 m₀, m₀ = 9×10^-28 г- масса электрона). Скорость свободных электронов имеет величину порядка 10⁸ см/сек. Таким образом, дебройлевские длины волн для электронов и атомов водорода оказываются равными 6×1O^-7 и 2×10^-8 см. Соответственно средние расстояния между частицами 3×10^-8 и 1×10^-6 см. Из этих оценок можно сделать вывод, что электроны не подчиняются статистике Больцмана. Статистика для описания электронов в металле, должна учитывать следующие свойства системы: 1) частицы подчиняются квантовой механике и потому неразличимы; и 2) частицы удовлетворяют принципу Паули, так что состояние, характеризуемое квантовым числом, описывающим электрон в кристалле, и спиновым квантовым числом m_s = ± , может быть занято лишь одним электроном. Поскольку мы имеем дело с системой, в 1см³ которой содержится очень большое число электронов, то из принципа Паули следует, что даже в низшем энергетическом состоянии системы должно существовать много состояний с большими квантовыми числами. Это положение сильно отличается от статистики Больцмана, в которой многие частицы могут иметь одну и ту же энергию и импульс, и в наинизшем энергетическом состоянии энергия всех частиц может быть равной нулю.

Закон распределения, обладающий перечисленными выше свойствами известен под названием распределения Ферми. Изящный вывод этого распределения изложен во многих учебниках, поэтому мы только приведем окончательный результат и обсудим его смысл. Статистика Ферми предсказывает, что вероятность того, что данное состояние с энергией Е будет занято электроном при температуре Т равна:

f(E)= . (3.1)

Величина E_f называется энергией Ферми.

Функция f(E) для случая Т=0 и для некоторой конечной температуры Т>0 графически представлена на риc. 3.1. При Т=0 она имеет вид ступеньки; все состояния ниже E_f заняты, все состояния выше E_f свободны. При отличной от нуля температуре функция переходит от значения, равного 1, к значению равном нулю, но не скачком (как в случае Т=0 при Е=E_f), а плавно в интервале значений Е, равном примерно kT. При E=E_f функция f(E)= .

Рис.3.1.Вид функции распределения Ферми. 1.- при абсолютном нуле. 2.- при конечной температуре, удовлетворяющей условию Е_f>>kT.

При |E-E_f|>>kT функцию (3.1) можно разложить в ряд:

f(E)=exp- +члены малого порядка при (E - E_f>>kT), (4.1)

f(E)=1-exp- +члены малого порядка при (E_f - E>>kT). (5.1)

Последние два выражения имеют следующий физический смысл. Равенство (4.1) утверждает, что вероятность возбуждения электрона в состояние с энергией, значительно превышающей энергию Ферми, определяется фактором Больцмана с энергией, отсчитываемой относительно E_f. Согласно выражению (5.1) вероятность появления дырки f₊(E) гораздо ниже уровня Ферми также определяется фактором Больцмана, поскольку

f₊ (E) = 1-f(E). (6.1)

Выражения (4.1) и (5.1) обосновывают трактовку электронных возбуждений при внешних воздействиях. Они позволяют сделать качественное заключение, что электроны и дырки ведут себя во многом подобно классическому газу, если отсчитывать энергию от уровня Ферми (E_f). Иначе говоря, тепловое возбуждение электронов и дырок происходит так, как если бы уровень E_f, был для них основным уровнем. Такое приближение тем лучше, чем больше разница |E-E_f| по сравнению с (kT). Оно оказывается очень полезным при анализе некоторых свойств металлов и с успехом используется при обсуждении уровня Ферми в полупроводниках.