5.4. Фокусировка и управление потоком заряженных частиц в постоянных магнитных полях.

Вектор силы Лоренца, действующий на заряженную частицу в постоянном магнитном поле, по определению векторного произведения:

F_л=q[v×B], (38.4)

Рис. 19.4. Составляющие начальной скорости

частицы, движущейся в магнитном поле.

перпендикулярен вектору скорости частицы. Поэтому движение частицы влетающей в магнитное поле с вектором скорости (v) под углом ( ) к вектору магнитной индукции (В) распадается на два вида движения: а) равномерное вдоль оси (z), совпадающим с направлением вектора индукции магнитного поля; и б) движения в плоскости перпендикулярной к вектору В (рис. 19.4). Сила Лоренца непрерывно поворачивает, перпендикулярную составляющую скорости не изменяя её величины. В данном случае сила Лоренца играет роль центростремительной силы, а происходящее под её действием движение в плоскости перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля описывается уравнением равномерного движения по окружности со скоростью v_┴:.

B, (39.4)

откуда r – радиус кривизны траектории или радиус окружности равен:

. (40.4)

С учетом формулы (39.4) период обращения (Т) и угловая частота ( ) определятся из равенств:

, (41.4)

. (42.4)

Сложение равномерного движения частицы вдоль направления магнитного поля со скоростью v_║ с равномерным вращением по окружности приводит в результате к траектории движения частицы по винтовой линии. Шаг винтовой линии равен расстоянию, на которое переместится частица в направлении поля за время полного оборота:

l=v_║Т= , (43.4)

где -угол между направлениями векторов начальной скорости частицы и вектора магнитной индукции (рис.19.4). Направление вращения составляет левовинтовую систему с вектором В для положительного заряда и правовинтовую систему для отрицательного заряда. Если в магнитном поле движется электрон, то с учетом численных констант входящих в уравнение (42.4) получим:

1,7×10⁷В рад/сек. (44.4)

В уравнения (41.4 и 42.4) скорость частицы в явном виде не входит. Окружность, по которой движется заряженная частица (уравнение 40.4) под действием силы Лоренца принято называть ларморовой окружностью, а величину - ларморовой частотой, по имени английского физика Лармора, изучавшего движение заряженных частиц в магнитных полях.

Предположим, что электронный пучок с малой угловой расходимостью выходит из точки О под средним углом , к вектору магнитной индукции В. Поскольку траектории электронов винтовые линии, то через интервал времени равный периоду обращения (см. уравнение 41.4) они пересекут силовую линию магнитного поля, проходящую через точку О₁ (рис.20.4). Расстояние, на которое они при этом продвинутся вдоль оси, т.е. шаг винтовой линии, определится по формуле (при условии что угол мал).

l=2 (45.4)

Рис. 20.4. Фокусировка заряженных частиц

в продольном магнитном поле.

Таким образом, имеет место фокусировка электронного пучка проходящего под малым углом к силовой линии магнитного поля (параксиального пучка). При увеличении среднего угла ( ) фокусировка ухудшается. Если в плоскости перпендикулярной к магнитному полю поместить объект, каждая точка которого испускает пучок с малой угловой расходимостью, то на расстоянии l сформируется изображение объекта с увеличением, равным единице. Следовательно, фокусирующее действие продольного магнитного поля может быть использовано для получения электронно оптического изображения.

В случае вхождения электронного пучка в магнитное поле, когда вектор скорости электронов перпендикулярен силовым линиям магнитного поля (вектору магнитной индукции В) при малой расходимости пучка (2) пучок электронов вновь сфокусируется после поворота на угол 180⁰ (рис. 21.4). При этом ширина фокуса пучка (ВС) при радиусе (r) по которому движутся (электроны с заданной скоростью и в данном магнитном поле, при угле раствора пучка 2, определится из равенства:

ВС=АС-АВ=2r-2rcos=4rsin²( ), (46.4 )

а, ширина фокуса (=ВС) при малом угле определится по формуле:

ВС==r². (47.4)

Таким образом, если рассматривать пучок электронов, вылетающих из точки А с угловой расходимостью в пределах (2), то окажется, что около точки В этот пучок сходится в области определяемым равенством (47.4).

Поперечная магнитная фокусировка находит широкое применение в технике по разделению частиц по массе и заряду (масспектрометрия и разделение изотопов). Согласно формулам, (40.4 и 47.4) определяющий линейный размер области фокусировки в поперечных электромагнитных полях зависит от отношения массы частицы к её заряду. Поэтому частицы разного сорта (отличные по массе и заряду) будут фокусироваться в различных точках на участке ВС, и их можно улавливать соответствующими приемниками.

Рис.21.4. Фокусировка пучка заряженных частиц в

поперечном однородном магнитном поле.

Применительно к электронным пучкам ни продольная, ни поперечная фокусировки в однородном магнитном поле существенного практического значения не имеют. Наиболее важным оказывается только фокусировка электронных пучков с помощью коротких соленоидов. Такой соленоид создает аксиально-симметричное магнитное поле с отличными от нуля компонентами магнитной индукции. Фокусирующее действие аксиально-симметричного магнитного поля можно пояснить с помощью рис. 21.5, на котором в плоскости, проходящей через ось симметрии z, изображено сечение соленоида, четыре силовые линии магнитного поля - тонкий пунктир и две характерные траектории электронов - жирный пунктир. Электроны влетающие, в поле короткого соленоида, слева направо параллельно оси z показаны стрелками.

Качественно механизм фокусировки в коротком соленоиде (короткой магнитной линзе) можно разъяснить следующим образом. Пусть электроны влетают в поле короткой электромагнитной линзы со скоростью v, двигаясь слева направо (рис. 21.5). Для наглядности примем, что начальное вращение электрона отсутствует и его скорость направлена параллельно оси z. Тогда в первые моменты движения электрона в поле кроткого соленоида, на него будет действовать только сила от составляющей магнитного поля:

F_=e(v_zB_r), (48.4)

которая вызовет вращение электрона по азимуту со скоростью v_. Если B_r направлено, так как представлено на рис. 21.5, то в области z<0 в верхней части соленоида компонента скорости v_ направлена к читателю, а в нижней части,

Р ис.22.4. Фокусировка электронных пучков

в короткой магнитной катушке.

напротив, - от него т.к. (e<0). Только после появления радиальной составляющей скорости v_ начнет сказываться фокусирующее действие короткого соленоида (магнитной линзы). В результате взаимодействия v_ и В_r возникнет движение в радиальном направлении. Составляющая вектора индукции B_r магнитного поля вызывает вращательное движение электрона по спирали с переменным радиусом относительно оси z. Радиальная составляющая силы всегда направлена к оси, т.е. действие поля всегда будет фокусирующим, независимо от направления силовых линий и направления начальной скорости электрона. На протяжении всей первой половины линзы знак азимутальной компоненты силы не меняется и вращательная скорость v_ будет непрерывно нарастать. Одновременно за счет увеличения v_ и B_z будет нарастать фокусирующая сила F_r. После перехода электрона во вторую половину линзы (z › 0) знак B_r и вращательная скорость начнет постепенно уменьшатся. Однако знак фокусирующей силы остается неизменным, потому что знаки v_ и B_z не изменяются. В результате прохождения электрона через линзу его траектория окажется повернутой на некоторый угол относительно исходной плоскости (r,z) и пересечет ось (z) в том или ином месте, один или даже несколько раз за счет действия фокусирующей силы.

Таким образом, основной особенностью фокусировки в магнитном поле является следующее: а) неизбежный поворот изображения в плоскости перпендикулярной к оси z; и б) аксиальное поле магнитной линзы всегда собирает электронный пучок, т.е. рассеивающих магнитных линз в природе не существует.

Вывод уравнения траектории электрона и вычисление фокусного расстояния магнитной линзы базируется на совместном решении трех уравнений в цилиндрических координатах для параксиальной области и выходит за рамки настоящего курса. В связи с этим ограничимся только конечным результатом для выражения угла поворота траектории, т.е. изображения в плоскости z=z₀:

, (49.4)

и выражения для оптической силы магнитной линзы:

, f^* = −f. (50.4)

Уравнение (50.4) получено интегрированием по оси z от плоскости объекта (z=а) до плоскости изображения (z=b) в приближении тонкой линзы. Подынтегральное выражение в данной формуле всегда положительное, следовательно, всегда положительно и фокусное расстояние. Равенство (50.4), дает подтверждение высказанному ранее замечанию об отсутствии рассеивающих магнитных линз.