- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 50 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі.
- •1. Диференціювання функцій.
- •2. Дослідження функцій та побудова графіків.
- •Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач.
- •1. Диференціювання функцій.
- •1. Означення похідної.
- •2. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функції. Теорема 1.
- •3. Означення диференціала.
- •4. Основні правила диференціювання.
- •5. Похідні основних елементарних функцій.
- •7. Диференціювання функцій, заданих неявно та параметрично.
- •1. Зростання та спадання функції.
- •2. Екстремуми функцій.
- •Теорема 8. Необхідна умова екстремуму.
- •Теорема 9.
- •3. Опуклість, вгнутість. Точки перетину.
- •Теорема 10. Достатня умова точки перегину.
- •4. Асимптоти.
- •5. Схема повного дослідження функції.
- •Приклад 10
- •6. Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.
- •Завдання 2.
- •Варіанти завдань.
- •Завдання 3
- •Варіанти завдань.
- •Завдання 4.
- •Варіанти завдань.
- •Завдання 5.
- •Варіанти завдань.
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури.
2. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функції. Теорема 1.
Якщо функція диференційована в деякій точці , то вона в цій точці неперервна.
Наслідок. З цієї теореми випливає, що неперервність функції є необхідною умовою диференційованості функції. Це означає, що в точках розриву функція не має похідних, тобто вона не диференційована.
Функція, яка неперервна в точці , може бути не диференційованою в цій точці. Наприклад, функція неперервна в точці , але не має похідної в цій точці тому, що , а , тобто границя відношень залежить від способу прямування .
3. Означення диференціала.
Нехай функція диференційована в інтервалі ,
Згідно з означенням похідної функції маємо:
Змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу , тому (**)
Функція диференційована в точці , тому вона неперервна в цій точці, але тоді при величини та будуть нескінченно малими. Порядок малості цих трьох величин різний: мають однаковий порядок малості, а величина є нескінченою малою вищого порядку малості. Отже, при перший додаток у правій частині рівності (**) є головною частиною приросту функції. Він є лінійним відносно .
Означення 3. Головну лінійну частину приросту функції називають диференціалом цієї функції. Диференціал функції назначають або .
Таким чином, .
Одержимо: , тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.
4. Основні правила диференціювання.
Правила сформулюємо у вигляді теорем.
Теорема 2.
Похідна постійної величини С дорівнює нулю, тобто .
Теорема 3.
Якщо кожна із функцій n- скінчене число) диференційована в деякій точці , то їх алгебраїчна сума також є диференційованою в цій точці, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі їх похідних, тобто
Доведення.
Нехай і аргумент одержує приріст . Тоді також одержує приріст:
Згідно з властивостями границі і з тим, що існують похідні функцій маємо, що існує, причому .
Підставивши значення , одержимо: , що і треба було довести.
Аналогічно можна довести наступні теореми.
Теорема 4.
Якщо кожна з функцій та диференційовані в точці , то добуток цих функцій також має похідну в точці , причому цю похідну находять за формулою:
Теорема 5.
Якщо та мають похідні в точці і то частка цих функцій також має похідну в точці , яку знаходять за формулою: .
Теорема 6.
Якщо і функція та диференційо-вані функції своїх аргументів, то існує похідна по складної функції , причому вона дорівнює добутку похідної функції по проміжному аргументу та похідної функції по аргументу , тобто
5. Похідні основних елементарних функцій.
Таблиця основних формул диференціювання.
1. 2. .
3. . 4. .
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13.
Тут . Якщо , то
Приклади 1-6.
Знайти похідні функції.
Приклад 1
Розв’язання.
Застосовуємо правило диференціювання суми функцій, маємо:
Приклад 2
Розв’язання.
Застосовуючи правило диференціювання добутку функції, маємо:
Приклад 3
Розв’язання.
Застосовуючи правило диференціювання частки функції, маємо:
Приклад 4
Розв’язання.
Застосовуючи правило диференціювання складної функції, степеневої функції та суми, маємо:
Приклад 5
Розв’язання.
Застосовуючи правило диференціювання складної функції, логарифмічної функції та суми, маємо:
Приклад 6
Розв’язання.
Перепишемо задану функцію у вигляді: . Тоді .
Логарифмічне диференціювання.
Логарифмічною похідною функції називається похідна від логарифму цієї функції, тобто . Послідовне застосування логарифмування та диференціювання функції називається логарифмічним диференціюванням.
Приклад 7.
Знайти похідну функції .
Розв’язання.
Маємо складну показникові функцію, бо і основа, і степінь залежить від .
Прологарифмуємо задану функцію .
Маємо:
Далі диференціюємо обидві частини останньої рівності по :
Звідси
Далі знаходимо : або .
Приклад 8.
Знайти похідну функції:
Розв’язання.
Запишемо задану функцію у вигляді: .
Прологарифмуємо задану функцію:
Про диференціюємо обидві частини останньої рівності по : .
Звідси
.
Отже,