2. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функції. Теорема 1.

Якщо функція диференційована в деякій точці , то вона в цій точці неперервна.

Наслідок. З цієї теореми випливає, що неперервність функції є необхідною умовою диференційованості функції. Це означає, що в точках розриву функція не має похідних, тобто вона не диференційована.

Функція, яка неперервна в точці , може бути не диференційованою в цій точці. Наприклад, функція неперервна в точці , але не має похідної в цій точці тому, що , а , тобто границя відношень залежить від способу прямування .

3. Означення диференціала.

Нехай функція диференційована в інтервалі ,

Згідно з означенням похідної функції маємо:

Змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу , тому (**)

Функція диференційована в точці , тому вона неперервна в цій точці, але тоді при величини та будуть нескінченно малими. Порядок малості цих трьох величин різний: мають однаковий порядок малості, а величина є нескінченою малою вищого порядку малості. Отже, при перший додаток у правій частині рівності (**) є головною частиною приросту функції. Він є лінійним відносно .

Означення 3. Головну лінійну частину приросту функції називають диференціалом цієї функції. Диференціал функції назначають або .

Таким чином, .

Одержимо: , тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

4. Основні правила диференціювання.

Правила сформулюємо у вигляді теорем.

Теорема 2.

Похідна постійної величини С дорівнює нулю, тобто .

Теорема 3.

Якщо кожна із функцій n- скінчене число) диференційована в деякій точці , то їх алгебраїчна сума також є диференційованою в цій точці, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі їх похідних, тобто

Доведення.

Нехай і аргумент одержує приріст . Тоді також одержує приріст:

Згідно з властивостями границі і з тим, що існують похідні функцій маємо, що існує, причому .

Підставивши значення , одержимо: , що і треба було довести.

Аналогічно можна довести наступні теореми.

Теорема 4.

Якщо кожна з функцій та диференційовані в точці , то добуток цих функцій також має похідну в точці , причому цю похідну находять за формулою:

Теорема 5.

Якщо та мають похідні в точці і то частка цих функцій також має похідну в точці , яку знаходять за формулою: .

Теорема 6.

Якщо і функція та диференційо-вані функції своїх аргументів, то існує похідна по складної функції , причому вона дорівнює добутку похідної функції по проміжному аргументу та похідної функції по аргументу , тобто

5. Похідні основних елементарних функцій.

Таблиця основних формул диференціювання.

1. 2. .

3. . 4. .

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13.

Тут . Якщо , то

Приклади 1-6.

Знайти похідні функції.

Приклад 1

Розв’язання.

Застосовуємо правило диференціювання суми функцій, маємо:

Приклад 2

Розв’язання.

Застосовуючи правило диференціювання добутку функції, маємо:

Приклад 3

Розв’язання.

Застосовуючи правило диференціювання частки функції, маємо:

Приклад 4

Розв’язання.

Застосовуючи правило диференціювання складної функції, степеневої функції та суми, маємо:

Приклад 5

Розв’язання.

Застосовуючи правило диференціювання складної функції, логарифмічної функції та суми, маємо:

Приклад 6

Розв’язання.

Перепишемо задану функцію у вигляді: . Тоді .

Логарифмічне диференціювання.

Логарифмічною похідною функції називається похідна від логарифму цієї функції, тобто . Послідовне застосування логарифмування та диференціювання функції називається логарифмічним диференціюванням.

Приклад 7.

Знайти похідну функції .

Розв’язання.

Маємо складну показникові функцію, бо і основа, і степінь залежить від .

Прологарифмуємо задану функцію .

Маємо:

Далі диференціюємо обидві частини останньої рівності по :

Звідси

Далі знаходимо : або .

Приклад 8.

Знайти похідну функції:

Розв’язання.

Запишемо задану функцію у вигляді: .

Прологарифмуємо задану функцію:

Про диференціюємо обидві частини останньої рівності по : .

Звідси

.

Отже,