3.6. Математическое ожидание векторных случайных величин

Как было отмечено в п.2.5, описание случайной величины с помощью функции распределения или плотности распределения является самым полным, самым подробным, но часто эти функции просто неизвестны или требуют больших объемов исходных данных для их определения. Это замечание в полной мере относится и к векторным случайным величинам.

Определение математического ожидания векторной сл. величины ничем не отличается от определения математического ожидания скалярной сл. величины, только это определение применяется для компонент случайного вектора. Так, если – n–мерная непрерывная случайная величина, , то и

(3.29)

Свойства математического ожидания уже описаны в п. 2.5.

3.7. Моменты векторных случайных величин

Кроме определений моментов, приведенных в разделе 2.7: начальных, центральных, абсолютных для векторных сл. величин могут быть даны определения так называемых смешанных моментов.

Пусть – сл. величины с совместной функцией распределения . Величины

(3.30)

где , называются смешанными моментами порядка k величин .

Аналогично определяются центральные смешанные моменты к-го порядка . (3.31)

Среди смешанных моментов особую роль играют смешанные моменты 2 порядка. Центральные смешанные моменты 2 порядка сл. величин ξ и η – обозначают через cov(ξ,η) и называют ковариацией сл. величин ξ и η: (см. также п. 3.11).

3.8. Дисперсия векторных случайных величин

Относительно вычисления дисперсии векторной сл. величины можно сказать то же самое, что и относительно ее математического ожидания, а именно: определение дисперсии векторной сл. величины сводится к определению дисперсий компонент случайного вектора. Так, если – n–мерная непрерывная случайная величина, , то

(3.32)

Таким образом, можем считать, что

Согласно формуле (3.31) вектор дисперсий случайного вектора ξ – это вектор центральных моментов его компонент. Однако для векторной сл. величины важны не только дисперсии ее компонент, но и ковариации между ними, определение которых приведено выше, в п. 3.6. В общем случае дисперсии и ковариации векторных сл. величин образуют так называемую матрицу ковариаций или ковариационную матрицу, обозначают ее иногда символом

или , с учетом сделанного замечания,

Изучением ковариаций случайных величин мы займемся несколько позже (см. п. 3.11).

3.9. Условное математическое ожидание. Кривые регрессии

Для простоты изложения ограничимся в этом параграфе рассмотрением только двумерных сл. величин. Следующая группа числовых характеристик – это характеристики связи сл. величин. Наиболее полно зависимость сл. величин описывается с помощью условных распределений (см. п. 3.4). Однако это описание довольно сложно. Более просто, хотя и менее полно, зависимость между сл. величинами описывается при помощи условного математического ожидания.

Определение. Условным математическим ожиданием сл. величины при условии , называется величина:

(3.33)

Первая строка формулы справедлива для непрерывных сл. величин ξ и η, вторая – для дискретных сл. величин.

Очевидно, что величина является функцией сл. величины , что немедленно следует из ее определения, следовательно, сама является сл. величиной, которую мы будем обозначать . Область определения сл. величины совпадает с множеством значений сл. величины . Значения сл. величины при различных значениях η принято иногда записывать в виде: .

Свойства условного математического ожидания.

1. M(C) = C

2. M(a + b) = aM() + b

3. M( + ) = M() + M()

4. M() = M()M(),если  и  независимы при условии ν.

Эти свойства аналогичны свойствам математического ожидания (арифметические действия понимаются уже не как действия над числами, а как действия над функциями, определенными для всех значений ). Нижеследующие свойства присущи только условному математическому ожиданию.

5. M[M()]=M

Доказательство приведем для непрерывных сл. величин.

Следствие. В процессе доказательства получено полезное соотношение

(3.34)

которое в литературе носит название формулы полного математического ожидания.

6. , h и  – некоторые функции.

Действительно, для произвольного значения y сл. величины η можем записать

Полученное равенство справедливо при любом значении y сл. величины .

7. = M, если  и  – независимы.

в силу независимости сл. величин. Полученное равенство справедливо при любом значении y сл. величины .

8.

Вернемся к определению условного математического ожидания сл. величины  при условии η=y, . Эта сл. величина, рассматриваемая как функция , иначе, при различных значениях , характеризует зависимость “в среднем” сл. величины  от сл. величины . По этой причине функцию ещё называют функцией регрессии или просто регрессией сл. величины  на сл. величину . Эта идеальная зависимость, освобожденная от случайностей. График функции , ее в этом случае удобнее обозначать как , называют линией регрессии сл. величины  на сл. величину  (или просто линией регрессии  на ). Отметим, что линий регрессии две: и . В общем случае они между собой не совпадают.

Пример 7. Рассмотрим двумерную сл. величину (,), имеющую нормальное распределение. В примере 2 этого раздела была получена формула для условной плотности нормального распределения:

.

Величина является условным математическим ожиданием , то есть регрессией  на η. Перепишем это выражение в виде где a= . На плоскости (x,y) уравнение этой прямой имеет вид х=a+by.

Очевидно, линия регрессии также представляет собой прямую линию где с= , которую на координатной плоскости (x,y) представима в виде y= c+dх. В общем случае эти линии не совпадают, как уже было отмечено выше.

Уравнения регрессии могут быть записаны в более симметризованной форме, а именно: , для регрессии η на ξ и регрессии на η соответственно.

Прямые регрессии проходят через центр рассеивания – точку ( ) с угловым коэффициентом ( по отношению к одной и той же оси Ох) . Так как |ρ| ≤1 (см. п.3.12), то | | ≥ | |, что геометрически означает, что прямая регрессии ξ на η всегда расположена более круто по отношению к оси Ох, чем вторая прямая регрессии η на ξ. При |ρ| =1 линии регрессии совпадают, при прямые регрессии распадаются на две прямые, параллельные осям координат – вырожденный случай регрессии.