3.2. Дискретные двумерные случайные величины

Двумерная случайная величина будет дискретной, если каждая из случайных величин дискретна. Как и в одномерном случае, двумерную дискретную сл. величину задают ее рядом распределения:

, (3.1)

где – все возможные значения сл. величин соответственно. На числа , таким образом, накладываются ограничения:

. (3.2)

Если число возможных значений вектора конечно, то сл. двумерную величину можно описать с помощью таблицы с двумя входами, по смыслу схожей с таблицей распределения скалярной случайной величины.

Таблица 2

				…
				…
				…
	…	…	…	…	…
				…

В верхней строке таблицы перечислены все возможные значения случайной величины : , в левом столбце – все возможные значения случайной величины : . В клетках на пересечении строк с номерами i и столбцов с номерами j записывают вероятности событий .

Таблицу 2 можно расширить, включив в нее еще одну строку и один столбец:

Таблица 3

				…
				…
				…
	…	…	…	…	…	…
				…
				…

В последней строке новой таблицы записаны числа

(3.3)

Следовательно, первая и последняя строки таблицы образуют ряд распределения случайной величины . Аналогично, в последнем столбце новой таблицы записаны числа

, (3.4) потому первый и последний столбцы таблицы образуют ряд распределения случайной величины .

Приведем обоснование формулы (3.4): действительно, если обозначить за событие , i=1,2,…, n, за – событие , j=1,2,..,m, то

|события попарно несовместны при всех i,j| =

Иногда вместо обозначений , i=1,2,…,n, применяются обозначения с тем, чтобы показать, что эти числа не зависят от значений второй сл. величины. Аналогично, вместо обозначений применяют обозначения

Формулы

(3.5)

называются формулами согласованности для дискретных сл. величин. Для чисел , таким образом, естественны ограничения

(3.6)

Для двумерных дискретных сл. величин функция распределения может быть записана по аналогии с одномерным случаем в виде

(3.7)

Суммирование распространяется на те значения i, j, для которых выполняются неравенства . Функция может быть восстановлена по ряду распределения (3.1).

Пример 1. Двумерная дискретная сл. величина задана таблицей распределения

\	1	2	3
0.2
0.3

Найти законы распределения сл. величин и и записать их в этой же таблице. Найти .

Решение. Вычислим по формуле (3.4) числа , : ; .

Теперь вычислим по формуле (3.3) числа , j=1,2,3. .

Проверкой полученных результатов являются выполнение равенств (3.5): .

Исходная таблица преобразуется к виду:

\	1	2	3
0.2
0.3
				1

; .