6. Примеры расчетов

6.1. Рассмотрим определение, перечисленных в п. 2.2 характеристик четырехполюсника, схема которого приведена на рис.1. Параметры элементов цепи : R₁ = 0,1 кОм, L₁ = 1 мГн, С₁ = 1 нФ.

Рис.1 Схема заданной цепи	Рис.2 Комплексная схема замещения цепи рис. 1

6.1.1. Комплексный коэффициент передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе для комплексной схемы замещения цепи (рис.2) имеет вид

,

откуда следует

. (1)

Из выражения (1) следует, что АЧХ и ФЧХ имеют вид

или

где   [рад/с] – решение уравнения _{Графики АЧХ в логарифмическом масштабе и ФЧХ в полулогарифмическом приведены на рис. 3. График АЧХ в линейном масштабе вблизи резонансной частоты приведен на рис. 4.}

Предельные значения и ФЧХ при  → 0 и  → ∞ для контроля вычислений полезно определить, не прибегая к расчетным формулам. Учитывая, что сопротивление индуктивности при  → 0 ( то есть на постоянном токе) равно нулю, а сопротивление емкости бесконечно велико, в схеме рис. 1 можно разорвать ветвь, содержащую емкость, а индуктивность заменить перемычкой. В полученной схеме, эквивалентной исходной на бесконечно малой частоте и   .

На бесконечно большой частоте входной ток определяется только индуктивностью, поскольку сопротивление последова­тельной RLC-цепи определяется элементом с наибольшим сопротивлением, поэтому входной ток отстает от входного напряжения на 90 градусов. Напряжение на емкости – выходное напряжение – отстает от тока емкости тоже на 90 градусов, поэтому напряжение на выходе отстает от входного на 180 градусов: ; , поэтому .

6.1.3. Операторный коэффициент передачи по напряжению получим из выражения (1), заменив  j  оператором  р:

.

Преобразуем последнее выражение к табличному виду, то есть так, чтобы коэффициенты при старших степенях  р  в числителе и знаменателе были равны единице:

Рис. 3 АЧХ (вверху) и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению

Рис. 4 АЧХ коэффициента передачи вблизи резонансной частоты

Функция не имеет нулей и имеет два комплексно-сопряженных полюса

[c ^– 1].

Полюсно-нулевая диаграмма приведена на рис. 5.

6.1.4. Выражения для изображений переходной и импульсной характеристик цепи принимают соответственно вид

Рис. 5

Полюсно- нулевая диаг-­ рамма

(2)

(3)

Оригиналы временных характеристик определим с помощью таблиц преобразований Лапласа [4, с. 774, 775]. Для этого преобразуем (2) и (3) к виду следующих табличных операторных функций:

(4)

(5)

Преобразуем изображения (2), (3) к требуемому виду:

(6)

(7)

Сравнивая (6) и (7) с (4) и (5), получаем выражения для переходной и импульсной характеристик^*

 ¹

Для построения графиков временных характеристик необходимо определить время практического затухания свободной составляющей отклика после коммутации , где – постоянная времени колебательного контура (см. (рис. 6)).

Рис. 6 Переходная (вверху) и импульсная характеристики цепи

Для качественного объяснения вида переходной характеристики рассмотрим отклик , который численно совпадает с переходной характеристикой при подаче на вход единичного скачка напряжения при нулевых начальных условиях. В соответствии с законом коммутации , то есть . В установившемся режиме при t → ∞ напряжение на входе можно считать постоянным, в цепи могут протекать только постоянные токи, и поэтому емкость в цепи можно заменить разрывом ветви, а индуктивность – короткозамкнутой перемычкой. В преобразованной таким образом цепи , следовательно . Переход от начального состояния к установившемуся происходит в колебательном режиме, так как полюсы операторной характеристики комплексно-сопряженные. Затухание свободных колебаний происходит из-за потерь энергии в сопротивлении R.

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения . В течение действия импульса все входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности, а поскольку оно бесконечно большое, то ток индуктивности скачком увеличивается [1, с. 320], а напряжение на емкости остается равным нулю, то есть . После коммутации напряжение на входе равно нулю (то есть входные зажимы можно считать короткозамкнутыми) и в цепи возникает затухающий колебательный свободный процесс обмена энергии между индуктивностью и емкостью. В цепях с потерями . Корректность расчета импульсной характеристики подтверждается качественно тем, что график  h(t)  на рис. 6  проходит через ноль в те моменты времени, когда g(t) имеет локальные экстремумы, а максимумы h(t) совпадают по времени с точками перегиба графика g(t), что соответствует .

6.1.5. Рассчитаем определенную точно в предыдущем пункте импульсную характеристику численно с помощью электронного симулятора PSpice. Программа анализа цепи имеет вид

_RLC

_{V1  1  0  PWL (0 0 1E-9 1E9 2E-9 0); единичный импульс}

_{R1  1  2  1E2}

_{L1  2  3  1E-3}

_{C1  3  0  1E-9}

_{E1  4  0  VALUE {1E6/SQRT(0.9975)*SIN(SQRT(0.9975)*1E6*TIME)*EXP(-50*1E3*TIME)}}

_{R2  4  0  1}

_{.TRAN 1E-9 0.1E-3; начальный шаг равен длительности фронта воздействия}

_{.PROBE V(3) V(4)}

_.END

Результат численного расчета «по умолчанию» имеет относительную погрешность 10 ^- 3*. Рассмотрим разницу между точным и приближенным расчетами, то есть разницу между рассчитываемым напряжением V(3) и заданным точно напряжением V(4) (см. рис. 7). Относительная погрешность расчета вблизи t  20 мкс, оцениваемая по текущей амплитуде функции ошибки, намного превышает записанную в опции «стандартные установки» (что характерно для анализа высокодобротных цепей).

Рис. 7. Изменение во времени разницы между точным и численным расчетом импульсной характеристики, RELTOL = 10 ^– 3 (us÷мкс)

Для уменьшения погрешности достаточно ввести программу дополнительное ограничение погрешности. На рис. 8 приведен такой же график относительной погрешности, что и на рис. 7, но при введении в программу дополнительной строки

_{.OPTION RELTOL = 0.2E-4.}

Уменьшение допустимой погрешности в 50 раз позволило во столько же раз уменьшить погрешность расчета симулятором импульсной характеристики, но, как видно из результатов, опция RELTOL не гарантирует выполнение задаваемой ею величины погрешности.

Рис. 8 Повторение расчета погрешности численного решения с новой установкой допустимой погрешности.

6.1.6. Рассмотрим расчет отклика в заданной цепи при напряжении на входе [B]. Операторный отклик равен произведению операторного коэффициента передачи цепи и изображения синусоиды по Лапласу:

или, с учетом (7),

Сопоставим с табличным выражением [5, с. 245, формула ()]:

,

в котором, чтобы не вводить лишние новые переменные, произведена замена обозначений констант   =  , [рад/с],     [рад/с],   D = 210¹⁸. В рассматриваемом случае

3,208 [рад]¹.

Найденный таким образом отклик имеет вид суммы принужденной гармонической составляющей и квазигармонической свободной составляющей.

На графике отклика (рис. 8) видно, что в начале переходного процесса частота колебаний определяется, в основном, свободной составляющей, а в конце его – принужденной составляющей.

Рис. 8 Напряжение на выходе цепи при подаче на вход синусоидального напряжения в момент времени t = 0

6.2. Рассмотрим опреде­ление, перечисленных в п. 2.2 характеристик четырехполюс­ника, схема которого приведена на рис. 9. Параметры элементов цепи:    R₁ = R₂ = R₃ = 1 кОм, С₁ = 1 нФ, С₂ = 1,2 нФ.

Рис. 9 Схема заданной цепи

6.2.1. Для определения комплексного коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода составим систему уравнений цепи методом контурных токов

Здесь 1-й контур образован ветвями R₂ C₂, E (в порядке обхода контура), 2-й – R₁, C₁, E, 3-й – R₃, C₁, C₂. Исключая контурные токи и , получаем выражение для комплексного коэффициента передачи в режиме холостого хода в виде

,

где = –2∙10 ^– 4 [Ом∙с],

A₀ = R₁ + R₂+ R₃ = 3∙10 ³[Ом],

[Ом∙с],

[Ом∙с²] .

АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению имеют вид

,

.

График зависимости модуля КЧХ от частоты в логарифмическом масштабе приведен на рис 10, аргумента в полулогарифмическом – на рис. 10.^*

Рис. 10 АЧХ (вверху) и ФЧХ комплексного коэффициента передачи по напряжению цепи рис. 9

Следует отметить, что различные симуляторы и программы компьютерной математики могут построить график ФЧХ по-разному. Поскольку главное значение комплексной величины лежит в пределах от – π  до  π, на графиках ФЧХ, которая является аналитической функцией, нередко появляются разрывы (см. рис. 11).

а	б
Рис. 11 ФЧХ, полученные MULTISIM (а), MATHCAD (б)

Графики, приведенные на рис. 11 можно «исправить» вручную с помощью графического редактора, но полезно записать выражение для ФЧХ в той же форме, что и на стр. 8:

где [рад∙с]

Операторный коэффициент передачи в режиме холостого хода получим заменой jω в выражении для КЧХ оператором р:

Полученная функция имеет один ноль рο = 0 и два вещественных полюса р× 1 = – 905372 [рад/с] и р× 2 = – 2761294  [рад/с]. Полюсно-нулевая диаграмма приведена на рис. 12.

6.2.2. Для определения временных характеристик воспользуемся классическим методом анализа переходных процессов. Определим отклик цепи рис.9 при воздействии на входе единичного скачка напряжения. Искомое напряжение равно сумме свободной и принужденной составляющих. Поскольку в установившемся после коммутации режиме все токи в цепи равны нулю, так как емкости разрывают цепь по постоянному току, то принужденная составляющая отклика равна нулю (см. рис. 13) и отклик цепи совпадает со свободной составляющей, которую можно записать в виде:

Рис. 12 Полюсно-нулевая диаграмма коэффициента передачи по напряжению цепи рис. 9

Рис. 13 Схема замещения цепи рис. 9 для установившегося ре­жима после коммутации (t → ∞)	Рис. 14 Схема замещения цепи рис. 9 для момента времени   t = 0+

Из схемы замещения цепи для момента времени непосредственно после коммутации (рис. 14), полученной путем замены емкостей идеальными источниками напряжения, величина которых равна напряжению соответствующей емкости до коммутации (здесь нулю), следует первое зависимое начальное условие . Второе зависимое начальное условие следует из уравнений цепи и независимых начальных условий:

В/с,

где и – токи емкостей определяемые по схеме рис. 14.

Найденные зависимые начальные условия позволяют найти постоянные интегрирования А₁ и А₂ из системы алгебраических уравнений

или

Решение системы позволяет найти переходную характеристику в виде

Переходная характеристика в начальный момент времени равна нулю, поэтому продифференцировав ее получим импульсную характеристику^*

Графики временных характеристик приведены на рис. 15 и 16.

6.2.3. Определим погрешность численного расчета переход­ной характеристики. Поскольку апериодические процессы в линейных цепях вычисляются симулятором весьма точно, то анали­тическое («точное») выражение для переходной характеристики нужно определить по крайней мере с шестью точными значащими цифрами. Результаты оценки погрешности численного определения переходной характеристики, приведенные на рис. 17 показывают, что численное решение имеет, по крайней мере, три точных значащих цифры.

g(t)

Рис.15. Переходная характеристика цепи рис. 9 (m÷10 ^{– 3})

h(t) 

[c ^{– 1}]

Рис.16. Импульсная характеристика цепи рис. 9 (u÷10 ^{– 6})

Рис.17 Погрешность расчета переходной характеристики при рекомендуемых PSpice опциях (V4 – точное решение, µ÷10 ^{– 6}):

6.2.4. Рассчитаем отклик цепи рис. 9 на экспоненциальный импульс (см. рис. 18)

Поскольку воздействие на разных интервалах времени описывается разными функциями, то отклик целесообразно определить с помощью интеграла наложения. На интервале времени от нуля до 1 мкс отклик имеет вид

На интервале времени  t > 1 мкс отклик имеет вид

График приведен на рис.19. На первом интервале времени отклик состоит из суммы принужденной (первое слагаемое) и свободной (последние два слагаемых) составляющих, на втором – принужденная составляющая отсутствует.

Рис. 18. Напряжение на входе цепи рис.9

Рис. 19. .^*Напряжение на выходе цепи рис.9