2. Сопротивление цепи для переменного тока.

Рассмотрим цепь, состоящую только из источника переменного напряжения и конденсатора С. При протекании переменного тока через конденсатор на емкостном сопротивлении Х_С конденсатора, создаётся некоторое падение напряжения. Из теории [1-3] следует, что Х_С обратно пропорционально частоте  переменного тока и емкости С конденсатора

, (4)

причём для постоянного тока при  = 0 Х_С =  и постоянный ток через конденсатор течь не может.

Если в рассматриваемой цепи конденсатор заменить катушкой индуктивности, то переменный ток, протекающий через катушку, будет создавать в ней переменное магнитное поле. Переменный магнитный поток, пронизывающий витки катушки, индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции. По правилу Ленца индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, вызвавшей его появление (в нашем случае изменению тока). Следовательно, если пренебречь активным сопротивлением катушки, то можно утверждать, что приложенное напряжение должно преодолеть только ЭДС самоиндукции. Таким образом, индуктивное сопротивление Х_L обусловлено противодействием ЭДС самоиндукции. Это сопротивление прямо пропорционально частоте  переменного тока и индуктивности L катушки:

(5)

Рассчитаем полное сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединённых активного R, индуктивного X_L и емкостного X_C сопротивлений (рис.2) для переменного тока.

Пусть на контакты цепи (рис.2) подано переменное напряжение U. При I=I_m*cost на каждом из элементов R, C и L будет создаваться некоторое падение напряжения.

Падение напряжения U_R=I_mRcost на активном сопротивлении R совпадает по фазе с током.

Падение напряжения U_L=I_mX_Lcos(t+/2) на индуктивном сопротивлении X_L опережает ток по фазе на 90.

Падение напряжения U_C=I_mX_Ccos(t-/2) на емкостном сопротивлении X_C отстаёт по фазе на 90 от тока.

Изобразим эти падения напряжения графически на некоторой диаграмме. Выберем некоторую произвольную ось OI в качестве оси токов (рис.3). Тогда падение напряжения на активном сопротивлении изобразится на этой диаграмме в виде вектора , совпадающего по направлению с осью токов (за модуль вектора принимаем максимальное (амплитудное) значение ). Вектор падения напряжения на индуктивности сдвинут на угол 90 по отношению к оси тока в сторону опережения, а вектор падения напряжения на емкости – на угол 90 в сторону отставания от тока (за положительное направление вращения вектора принимается вращение против часовой стрелки). Сложим эти три вектора. Векторы и противоположны по фазе. Допустим | |> . Тогда

вектор (рис.3) является их разностью. Остаётся только сложить этот вектор с вектором падения напряжения на активном сопротивлении. Очевидно, что суммой вышеуказанных векторов будет вектор . Из прямоугольного треугольника для модулей рассмотренных векторов имеем

или, если обозначить полное сопротивление цепи через R_n,

Следовательно,

Величина называется реактивным сопротивлением цепи, обозначается буквой Х:

Х=X_L-X_C.

Тогда полное сопротивление цепи для переменного тока можно записать в виде:

Угол  сдвига фаз между током и напряжением даётся соотношением

При расчёте сложных цепей переменного тока удобно пользоваться так называемым символическим методом, который значительно упрощает расчёты. Сущность символического метода заключается в том, что величины, которые характеризуют электрические цепи ЭДС токи, сопротивления и т.д., представляются в виде комплексных чисел вида , где

Комплексное число можно представить в виде вектора в системе координат, в которой действительную часть x комплексного числа откладывают по горизонтальной оси, а мнимую часть iy – по вертикальной (рис.4)

Длина этого вектора называется модулем комплексного числа Z , а угол , составленный вектором Z с вещественной осью x и определяющей положение вектора в комплексной плоскости, - аргументом Z. Модуль комплексного числа даёт амплитуду гармонического колебания, а аргумент – начальную фазу колебания.

Рассмотрим , чему равны комплексные сопротивления в различных частных случаях. Если участок цепи имеет только активное сопротивление R, то комплексное сопротивление Z_R в этом случае не имеет вовсе мнимой части и равно активному сопротивлению Z_R=R участка.

Если участок цепи содержит только индуктивность L, то

Если участок цепи содержит только конденсатор, то

Существует следующее простое правило для вычисления сопротивления цепей символическим методом: чтобы рассчитать сопротивление цепи для переменного тока, надо в этой цепи мысленно заменить каждую индуктивность L на её комплексное сопротивление il, каждую емкость С – на , а все активные сопротивления оставить без изменения. Затем с полученными комплексными сопротивлениями надо произвести те же операции, что и при вычислении сопротивления для постоянного тока (при последовательном соединении сопротивления сложить, при параллельном – сложить обратные им величины). Полученная в результате этого комплексная величина Z = x + iy и будет представлять собой полное комплексное сопротивление цепи. Эта величина получила название импеданса цепи. Ее действительная часть Х есть активное сопротивление R цепи, а мнимая часть Y – реактивное сопротивление. Модуль импеданса дает величину полного сопротивления R_n цепи для переменного тока. Аргумент импеданса даёт угол , на который напряжение опережает ток в цепи

Поскольку из математики известно, что

то любое комплексное число Z=x + iy можно представить в показательной форме Z=e^i, где , а , т.е.

x=cos; y=sin

Здесь  - модуль комплексного числа Z;  - его аргумент.

Тогда комплексное сопротивление цепи можно представить в виде:

(6)

где R_n – полное сопротивление цепи для переменного тока.