
- •Дискретная математика. Теория и практика
- •Оглавление
- •Глава 1. Множества 6
- •Глава 2. Комбинаторика 24
- •Глава 3. Отношения. Отображения 34
- •Глава 4. Алгебраические структуры 55
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Множества
- •1.1. Множества и их элементы. Способы задания множеств
- •1.2. Подмножества
- •1.3. Операции над множествами
- •1.4. Диаграммы Эйлера – Венна
- •1.5. Прямое произведение множеств
- •1.6. Метод математической индукции
- •1.7. Соответствия
- •1.8. Задачи, связанные с определением мощности конечного множества
- •Задачи и упражнения к главе 1
- •Глава 2. Комбинаторика
- •2.1. Правила суммы и произведения
- •2.2. Размещения и сочетания
- •2.3. Примеры решения задач
- •2.4. Бином Ньютона
- •2.5. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля
- •Задачи и упражнения к главе 2
- •Глава 3. Отношения. Отображения
- •3.1. Понятие отношения
- •3.2. Способы задания бинарных отношений
- •Характеристическим свойством.
- •3.3. Операции над бинарными отношениями
- •3.4. Свойства матриц бинарных отношений
- •3.5. Свойства бинарных отношений
- •3.6. Определение свойств бинарного отношения по его матрице
- •3.7. Отношение эквивалентности
- •3.8. Счетные и несчетные множества
- •3.9. Отношение порядка. Диаграммы Хассе
- •3.10. Функции
- •Задачи и упражнения к главе 3
- •Глава 4. Алгебраические структуры
- •4.1. Алгебраические операции и их свойства
- •4.2. Понятие алгебраической структуры
- •4.3. Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией
- •4.4. Алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями
- •4.5. Конечные поля
- •4.6. Булевы алгебры
- •4.7. Гомоморфизмы алгебр
- •4.8. Алгебраические системы. Решетки
- •Задачи к главе 4
- •Список литературы
4.7. Гомоморфизмы алгебр
Пусть
А
=
< A,
f1,
…, fm
> и В
=
< В,
>
– однотипные алгебры, то есть для любого
iÎ{1,
…, m}
операция fi
алгебры А
и соответствующая ей операция
алгебры В
имеют
одинаковые ранги. Говорят, что отображение
h
носителя
А
в носитель В
сохраняет
операцию
fi
алгебры
А,
если
("
a1,…,
Î
A)
h
(fi
(a1,
…, )) = (h(a1),
…, h(
)),
(14)
где ni – ранг операции fi.
Определение 4.31. Гомоморфизмом алгебры А в (на) однотипную алгебру В называют такое отображение h носителя A в (на) носитель В, которое сохраняет все операции алгебры А , то есть для любой операции fi (i = 1, …, m) алгебры А выполняется условие (*).
Определение 4.32. Гомоморфизм h алгебры А в алгебру В называется мономорфизмом (или вложением), если h является инъективным отображением носителя А в носитель В.
Определение 4.33. Гомоморфизм алгебры А на алгебру В называется эпиморфизмом.
Определение 4.34. Гомоморфизм h алгебры А на алгебру В называют изоморфизмом, если h есть инъективное отображение носителя А на
носитель В.
Определение 4.35. Алгебры А и В называются изоморфными, если существует изоморфизм алгебры А на алгебру В. При этом пишут А @ В.
Другими словами, отображение h является изоморфизмом алгебры А на алгебру В, если h – биективное отображение носителя А на носитель В.
Определение 4.36. Гомоморфизм алгебры А в себя называется эндоморфизмом.
Определение 4.37. Изоморфизм алгебры А на себя называется автоморфизмом.
На рис. 4.1 представлена схема определения частного случая гомоморфизма.
Пример 4.22. Дано отображение
h:
,
где
.
Выяснить, является ли h гомоморфизмом. Если да, то какой частный случай гомоморфизма имеет место.
Решение.
Пусть
.
Проверим, сохраняет ли h
операцию
,
то есть выполняется ли условие:
=
.
Преобразуя
левую и правую части равенства, получим:
=
=
=
,
(15)
.
(16)
Из
(15) и (16) следует, что h
– гомоморфизм алгебры
в алгебру
.
Далее выясним, является ли отображение h инъективным или сюръективным.
h
– инъекция
= =
=
.
Это
условие не выполняется, так как для
любых
¹
.
Следовательно, отображение h
не является инъективным.
h
– сюръекция Im
h
=
.
Имеем,
¹
Æ.
Значит, h
– сюръекция.
Таким
образом, h
– эпиморфизм алгебры
на алгебру (см. рис. 4.1).
Пример
4.23. Дано
отображение
,
где
(
–
множество положительных действительных
чисел).
Решение.
Проверим, сохраняет ли h
операцию +, то есть выполняется ли
условие:
.
Преобразуя левую и правую части равенства, получим:
,
(17)
.
(18)
Из (17) и (18) следует, что h – гомоморфизм алгебры в алгебру .
Далее,
Следовательно, h
– инъекция.
Имеем:
.
Следовательно, h
– сюръекция.
Значит, h является изоморфизмом алгебры на алгебру .