2.4. Бином Ньютона
Исторически
название бином Ньютона несправедливо,
поскольку формулу
знали еще среднеазиатские математики,
начиная с Хайяма (Омар Хайям (около 1048
– 1131) – персидский поэт, математик и
философ), а в Европе до Ньютона (Исаак
Ньютон (1643 – 1727) – английский физик,
астроном и математик) еe
знал Паскаль (Блез Паскаль (1623 – 1662) –
французский математик). Однако заслуга
Ньютона заключается в том, что он обобщил
эту формулу для нецелого показателя n
(см. замечание 2.2).
Для натурального показателя n формула бинома Ньютона имеет вид:
=
=
.
(9)
Доказательство. Для доказательства формулы (9) применим метод математической индукции.
1.
База
индукции.
Пусть n
= 1. Тогда
=
=
а
+
b.
2. Индуктивное предположение. Предположим, что формула (9) верна для n – 1.
3. Индукционный переход. Докажем справедливость формулы (9) для n.
В данном случае получаем
=
=
=
+
.
Заменим
индекс суммирования k
на j
так, что k
= j
–
1,
j
= k
+ 1.
Так как
,
то
и следующая формула принимает вид:
=
.
Отсюда
=
+
.
Выровняем
пределы изменения индексов суммирования
в обеих суммах. Для этого введем
дополнительно
и
,
тогда
=
и
=
.
Отсюда
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Следовательно, формула (9) верна для
любого натурального n.
Замечание 2.2. Для нецелого n при |х| < 1, формула имеет вид
=
2.5. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля
Биномиальное разложение служит основой для многих комбинаторных формул. Например:
1. Пусть a = b = 1. Тогда . Так как – число k-элементных подмножеств n-элементного множества, то сумма в левой части есть число всех подмножеств n-элементного множества. Таким образом, получили еще одно доказательства того, что мощность булеана n-элементного множества равна 2n.
2.
Пусть a
= –1, b
= 1. Тогда
.
Следовательно,
суммы биномиальных коэффициентов,
стоящих на четных и на нечетных местах,
равны между собой, и каждая равна
.
3.
.
Действительно, .
4. В ходе доказательства формулы (9) мы получили
. (10)
Тождество
(10) позволяет вычислить значения
,
зная
и
.
Другими словами, с помощью тождества (10) можно последовательно вычислить при n = 0, затем при n = 1, при n = 2 и так далее. Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1
5 10 10 5 1
В (k + 1)-й строке по порядку стоят числа . Поскольку и располагаются в этой таблице строкой выше, чем , и находятся в этой строке слева и справа от него, то для получения надо сложить находящиеся справа и слева от него числа предыдущей строки. Например, значение 10 в шестой строке мы получим, сложив числа 4 и 6 пятой строки.
Эту таблицу называют треугольником Паскаля, по имени французского математика Блеза Паскаля, в трудах которого она встречается. Это название так же, как и бином Ньютона, исторически неточно, поскольку такую таблицу уже знал упомянутый ранее Омар Хайям.