4.4. Алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями

Среди алгебр с двумя бинарными алгебраическими операциями особо выделяются кольца и поля.

Определение 4.21. Алгебра А = < А, +, ∙ > называется ассоциативным кольцом с единицей, если выполняются следующие условия (аксиомы):

1. алгебра < A, + > есть коммутативная аддитивная группа;

2. алгебра < A, ∙ > есть мультипликативный моноид;

3. умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть и .

Замечание 4.5. В дальнейшем под словом «кольцо» будем подразумевать ассоциативное кольцо с единицей. 

Элементы множества А называются элементами кольца А = < А, +, ∙ >.

Определение 4.22. Группа < A, + > называется аддитивной группой кольца А = < А, +, ∙ >. Нейтральный элемент относительно сложения называется нулем кольца и обозначается через 0 или 0_А.

Определение 4.23. Моноид < A, ∙ > называется мультипликативным моноидом кольца А = < А, +, ∙ >. Нейтральный элемент относительно умножения называется единицей кольца А и обозначается через 1 или 1_А.

Определение 4.24. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна, т.е. .

Пример 4.14. Алгебра < Z, +, ∙ > образует коммутативное кольцо целых чисел. 

Определение 4.25. Полем называется коммутативное кольцо, в котором нуль кольца отличен от единицы кольца и для каждого ненулевого элемента существует обратный к нему относительно операции умножения.

Пример 4.15. Кольцо целых чисел < Z, +, ∙ > полем не является, так как ни один ненулевой элемент, кроме 1, не обладает обратным к нему. 

Пример 4.16. Множества Q, R и С образуют бесконечные поля относительно обычных операций сложения и умножения, которые соответственно называются полем рациональных чисел, полем действительных чисел и полем комплексных чисел. 

Пример 4.17. Выяснить, образует ли алгебра < >

кольцо, поле?

Решение. Докажем сначала, что операции сложения и умножения матриц являются бинарными алгебраическими операциями на множестве

М = . Для этого достаточно показать замкнутость множества М относительно этих операций.

=  M.

Следовательно, операции «+» и «» – бинарные алгебраические операции на М.

Сложение произвольных матриц (если оно определено) коммутативно и ассоциативно. Значит, «+» коммутативно и ассоциативно на М. Очевидно, что матрица  М есть нейтральный элемент относительно «+», а

 М – противоположный элемент для произвольной матрицы из множества М. Следовательно, < М, + > – коммутативная группа.

Умножение произвольных матриц (если оно определено), а значит и матриц из множества М, является ассоциативной операцией. Пусть – произвольная матрица из множества М.

=  =  

 b = при x  0. Отсюда xa + = x. Выполним преобразования:

x²a + y² – y²a = x²  y² (1 – a) = x² (1 – a)  1 – a = 0  a = 1  b = = 0.

Если x = 0, то . Так как y – произвольное действительное число, то и в этом случае получаем, что a = 1 и b = 0. Получили, что

 М – нейтральный элемент относительно «». Следовательно,

< М,  > – моноид.

Известно, что умножение дистрибутивно относительно сложения для произвольных матриц (если операции имеют смысл), в частности, и для матриц из множества М.

Таким образом, алгебра < М, +,  > – кольцо.

= = = .

Получили, что «» – коммутативно. Следовательно, кольцо коммутативно. Нуль кольца отличен от единицы кольца: ≠ . Выясним, для каждого ли ненулевого элемента из множества М существует обратный к нему. Легко видеть, что роль обратного элемента к матрице из М играет обратная к ней матрица.

  ≠ 0  x² – y² ≠ 0  x²  y²  x  ± y.

Значит, множество М содержит ненулевые матрицы, например матрицу , для которых не существуют обратные к ним.

Итак, алгебра < М, +,  > образует коммутативное кольцо, но не является полем. 