4.2. Понятие алгебраической структуры

Определение 4.10. Алгебраической структурой (универсальной алгеброй или просто алгеброй) называется упорядоченная пара А = < A, S >, где A – непустое множество и S – множество алгебраических операций на A.

Таким образом, алгебра представляет собой непустое множество A вместе с заданной на нем совокупностью операций S = {f₁, …, f_m, …}, где f_i: ® A и n_i – ранг операции f_i. Множество A называется основным (несущим) множеством или основой (носителем) алгебры; упорядоченная последовательность рангов (n₁,…, n_m) называется типом алгебры; множество операций S называется сигнатурой алгебры.

Если < A, S > – алгебра, то также говорят, что множество A есть алгебра относительно операций S.

Наиболее частым является случай, когда сигнатура конечна. Если

S = {f₁, …, f_m}, то вместо записи А = < A, {f₁, …, f_m }> обычно употребляется запись А = < A, f₁, …, f_m >.

Замечание 4.1. Для обозначения алгебры везде, где это необходимо, используется рукописная прописная буква латинского алфавита, а для обозначения ее носителя – соответствующая печатная прописная буква. 

Определение 4.11. Алгебры А = < A, f₁, …, f_m > и В = < В, , …, > называются однотипными, если их типы совпадают, то есть ранг операции f_i совпадает с рангом соответствующей ей операции для i = 1,…, m.

Пример 4.6. 1. Пусть + и ∙ (сложение и умножение) – арифметические операции на множестве действительных чисел. Алгебра < R, +, ∙ > является алгеброй типа (2, 2).

2. Пусть P(A) – булеан непустого множества A и È, Ç, ‾ – операции пересечения, объединения и дополнения над подмножествами множества A. Алгебра < P(A), È, Ç, ‾ > является алгеброй типа (2, 2, 1). 

Определение 4.12. Пусть алгебры А = < A, f₁, …, f_m > и

В = < В,> – однотипные алгебры. Алгебра В называется подалгеброй алгебры А , если В Í A и любая операция (i = 1, …, m) алгебры В и соответствующая ей операция f_i алгебры А удовлетворяют условию:

(" b₁, …, Î B) (b₁, …, )=f_i (b₁, …, ), где n_i – ранг операций и f_i. (12)

Определение 4.13. Пусть А = < A, f₁, …, f_m > – алгебра и В Í A. Подмножество В множества A называется замкнутым в алгебре А, если В замкнуто относительно каждой операции f_i (i = 1, …, m) алгебры А, то есть выполняется условие: (" b₁,…,Î B) f_i(b₁,…,)ÎB, где n_i – ранг операции f_i. (13)

Если f_i – нульарная операция, которая выделяет элемент a Î A, то условие (13) принимает вид a Î В.

Из определений 4.12 и 4.13 непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть А = < A, f₁, …, f_m > – алгебра и В – непустое подмножество множества A, замкнутое в алгебре А. Тогда алгебра В = < В, f₁, …, f_m > является подалгеброй алгебры А. 

Пример 4.7. Рассмотрим алгебру < N, +, × >, где + и × – обычные операции сложения и умножения натуральных чисел. Пусть M – множество четных чисел, то есть M = . Множество M замкнуто относительно операций сложения и умножения натуральных чисел. Действительно,

(" 2k₁, 2k₂ Î M) 2k₁ + 2k₂ = 2(k₁ + k₂) Î M и 2k₁ × 2k₂ = 2(2k₁ × k₂) Î M, так как множество N замкнуто относительно сложения и умножения. Следовательно, по теореме 4.3 алгебра < M, +, × > является подалгеброй алгебры < N, +, × >.