§ 1 Дискретные и непрерывные случайные величины.

Функции распределения случайной величины

Определение 1.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять одно, и только одно, возможное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Например, посеяно 100 зерен пшеницы для определения ее всхожести. Число взошедших зерен есть случайная величина, которая может принять одно из значений: 0, 1, 2, …, 100.

Определение 2.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные друг от друга возможные значения, которые можно перенумеровать.

Число взошедших зерен пшеницы есть дискретная случайная величина.

Определение 3.

Непрерывной случайной величиной называется такая, случайная величина возможные значения которой, непрерывно заполняют какой-то промежуток, конечный или бесконечный.

Например, расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из оружия, есть непрерывная случайная величина. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку

Случайные величины обозначаются: , , и т.д.

Определение 4.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения можно задать в виде таблицы

				…
				…

— возможные значения случайной величины ,

— соответствующие им вероятности.

Причем

Определение 5.

Интегральной функцией распределения случайной величины называется функция выражающая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее чем :

Свойства интегральной функции .

1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку .

.

2. — неубывающая функция, т.е. если

3.

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале , равна приращению интегральной функции на этом интервале:

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно конкретное значение, равна нулю, т.е. Поэтому, для непрерывной случайной величины справедлива формула

Определение 6.

Дифференциальной функцией распределения или плотностью вероятности случайной величины в точке называется отношение вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от до к длине этого участка, когда

Обозначается плотность вероятности через . По определению имеем:

.

Так как ,

то .

Таким образом, если существует , то существует , что обычно и предполагают.

Интегральная функция выражается через дифференциальную формулой:

.

Свойства дифференциальной функции

1. , т.е. дифференциальная функция не отрицательна.

2. . Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна единице.

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение в интервале , равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от до :

.

Геометрически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции на рисунке 4.1:

f(x)

a b х

Рис. 4.1