Примеры для самостоятельной работы

Решить систему уравнений методами Гаусса и Жордана – Гаусса:

10.

26.

27. 28.

29. 30.

Задание № 11

Пример 15. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение. Составим характеристическое уравнение

или

Один из корней характеристического уравнения найдем среди делителей свободного члена. Например, – корень данного уравнения. Разделим левую часть последнего уравнения на выражение с помощью метода Горнера.

	-1	7	0	-36
-2	-1	(-2)∙(-1) + 7 = 9	(-2)∙9 + 0 = -18	(-2)∙(-18) – 36 = 0

Остальные корни характеристического уравнения определим, решив квадратное уравнение: . Тогда , .

Итак, , , – собственные значения матрицы А.

Вычислим собственный вектор, соответствующий собственному числу . Составим систему уравнений: , получаем .

Полагаем, что , , тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу .

Определим собственный вектор, соответствующий собственному значению . Составим систему уравнений:

.

Пусть , тогда и – собственный вектор, соответствующий собственному числу .

Вычислим собственный вектор, соответствующий значению .

Составим систему уравнений:

.

Пусть , тогда и – собственный вектор, соответствующий собственному значению

Примеры для самостоятельной работы

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

1. 2. 3.

26. 27.

Задание № 12

Пример 16. Найти ранг системы однородных линейных уравнений, фундаментальную систему решений, общее решение:

.

Решение. Составим матрицу системы .

Найдём ранг матрицы А

Очевидно, что r(А)=2.

Поэтому k = n – r = 5 – 2 = 3. Значит, размерность линейного пространства решений равна 3, фундаментальная система решений состоит из трёх решений.

В матрице возьмем базисный минор – это

выделенный подчеркиванием минор второго порядка.

Поэтому последние два уравнения отбрасываем, а неизвестные х₁, х₄, х₅ считаем свободными и переносим их в правую часть уравнений, то есть приходим к системе

.

Определителем этой системы является базисный минор, который отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение, которое найдем по правилу Крамера.

Итак,

Тогда .

Определим первое базисное решение l₁. Для этого положим x₁ = 1,

x₄ = x₅ = 0. Тогда x₂ = -3/2, x₃ = 0. Таким образом, . Аналогично определим второе базисное решение . Полагая x₁ = 0, x₄ = 1, x₅ = 0, находим x₂ = –2, x₃ = 1. Второе базисное решение запишется в виде . При x₁ = 0, x₄ = 0, x₅ = 1 определяем x₂= –4, x₃=3. Следовательно, третье базисное решение есть . Итак, получили фундаментальную систему решений. Отметим, что l₁, l₂, l₃, образующие фундаментальную систему уравнений, линейно независимы, поскольку свободные неизвестные x₁, x₂, x₃ были выбраны так, что выделенный подчёркиванием минор третьего порядка в матрице из столбцов l₁, l₂, l₃ отличен от нуля .

Запишем общее решение исходной системы линейных однородных уравнений: или в координатной форме

.

Итак,