Теоретические вопросы
Матрицы. Различные виды матриц.
Определители. Основные свойства определителей.
Миноры. Алгебраические дополнения.
Разложение определителей по строке или столбцу.
Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов столбца или строки.
Действия над матрицами:
сложение матриц;
умножение матрицы на число;
произведение матриц.
транспонирование матриц.
Равенство матриц.
Обратная матрица.
Ранг матрицы. Свойства, вычисление. Метод окаймляющих миноров.
Элементарные преобразования. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Система линейных уравнений. Матрицы системы. Матричная форма записи системы.
Исследование систем линейных уравнений, теорема Кронекера-Капелли.
Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Метод Жордана – Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Однородная система линейных уравнений. Совместность системы. Фундаментальная система решений. Общее решение.
Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Задание №1
Пример 1. Найти 4А + 2В, если
,
.
Решение.
.
Пример 2. Определить АВ,
если
,
.
Решение.
Примеры для самостоятельной работы
Составить матрицы А=(аij), В=(вij) и вычислить:
2А +3В, где А и В матрицы размера 4х6;
матрицу С, если 4С – 3В = 2А;
А2, А3, А4, если А2х2;
произведение матриц:
а) А1х4∙В4х2; б) А1х3∙В3х3; в) А3х5∙В5х1; г) А3х3∙В3х6.
Задание №2
Пример 3. Вычислить определитель
.
Решение. Вычислим определитель, используя правило треугольника
Пример 4. Вычислить определитель
.
Решение. Разложим определитель по элементам второй строки:
Пример 5. Вычислить определитель
.
Решение. Обозначим данный определитель
через
.
Общий множитель элементов первого
столбца (2) вынесем за знак определителя,
затем элементы второго столбца прибавим
к элементам третьего столбца, наконец,
элементы третьей строки, умноженные на
(-3), прибавим к элементам четвертой
строки.
.
Разложим определитель по элементам третьего столбца:
.
Преобразуем полученный определитель. Вторую строку, умноженную на (-2), прибавим к первой строке.
.
Разложим определитель по элементам первого столбца:
.
Примеры для самостоятельной работы
а) Вычислить определители третьего порядка:
1.
2.
3.
4.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
26.
27.
28.
29.
30.
б) Вычислить определители четвертого порядка:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание №4
Пример 6. Пользуясь
правилом умножения матриц, представить
в виде определителя произведение
определителей
.
Решение.
Примеры для самостоятельной работы
Пользуясь правилом умножения матриц, представить в виде определителя произведение определителей:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание №5
Пример 7. Найти обратную матрицу для
матрицы
.
Решение. Вычислим определитель матрицы
.
Определитель detА0, следовательно, матрица А имеет обратную.
Составим транспонированную матрицу АТ для матрицы А:
.
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы АТ:
Тогда матрица, составленная из
алгебраических дополнений матрицы АТ,
запишется в виде:
.
Запишем обратную матрицу:
.
Покажем, что АА-1=Е.
Действительно,
.