Якщо недопоставку I-го ресурсу позначить величиною ∆ Sjᶯ, де ᶯ - варіант недопоставки ᶯ ∈ н, то вихідна задача (1) - (3) перейде в задачу f

f(х^ᶯ ) → орt (4)

Р _к – g_k(x^ᶯ), ,  (5)

h_i (x^ᶯ) ≤ S_i ^ᶯ_,  ,  (6)

Таким чином, в умовах дисбалансу системи планове завдання окремого об'єкта (1) - (3) стає багатоцільовий завданням (4) - (6). Очевидно, що існують і такі рішення x^ᶯ коли для декого  К, Р_к > g_k(x^ᶯ), тобто план з випуску частини (або всієї) номенклатури продукції об'єкта не буде виконаний. Номенклатура продукції К 'об'єкт системи якої «жертвує» заради найкращого виконання плану по інших видах продуктів, не завжди може бути встановлена ​​на рівні самого об'єкта в силу того, що на елементарному рівні не завжди може бути встановлено ціннісне порівняння різних видів продукції. Розв’язком задачі (4) – (6) в цьому випадку може бути, зокрема, будь-яка оптимальна точка Парето. Як відомо, оптимальне за Парето рішення в багатьох практично цікавих постановках може бути отримано скалярізацією невід'ємними коефіцієнтами цільових функцій завдання

Іншими словами, задача (4) - (6) замінюється одноцільовою:

(7)

Можливі й інші методи розв’язку багатокритеріальної задачі (4) - (6).

Залежність недовипуску довільного продукту ∆P недопоставки будь-якого ресурсу ∆S можна розглядати як окремий випадок платіжної функції. Можна припустити, що вона є опуклою. Припущення щодо опуклості можна обгрунтувати тим, що при невеликих обсягах недопоставок об'єкт має відносно великі резерви їх компенсації, а при дуже великих недопоставки, коли всі резерви вичерпані, недовипуск пропорційний обсягу недопоставок.  

Припустимо надалі, що платіжна функція довільного об'єкта складної системи має вигляд ламаної (див. рис. 1). У явному вигляді цю функцію можна записати так:

(8)

Рис. 1. Апроксимація зв'язку «недопоставки-недовипуск»

Тоді для довільної L - етапної системи (технологічного ланцюжка) виду

недовипуск продукції останнім (кінцевим) етаном цього ланцюга можна розрахувати за формулою:

(9)

Тут r- резерв об'єкта l;

g_i - коефіцієнт жорсткості його функції еластичності;

х - вхідне збурення;

у - недовипуск продукції.

Легко бачити, що при L=3, y(x)=(((x-r_i)g₁-r₂)xg₂-r₃)g₃= =(l-r₁-r₂/g₁-r₃/g₁g₂)g₁g₂g₃. Відповідно до цієї формули від поступаючого збурення х поряд із резервом віднімається величина + . Таким чином, величину R = + можна інтерпретувати, як повний резерв елемента , або всього технологічного процесу системи. Величину умовно назвають «непрямим» резервом цієї точки першого роду, – «непрямим» резервом другого роду.

Повний резерв всього технологічного ланцюга, при якому у(х)=О, дорівнюватиме:

(10)

де   = - коефіцієнт еластичності.

Можна вказати формулу розрахунку повного резерву для вершини, з якої виходять кілька ланцюжків зв'язків, наприклад, для об'єкта а_0.

У загальному випадку для вершини а₀ , з якої виходять m ланцюжків, що починаються об'єктами a₁, а₂ ,,..., а_т, повний резерв становитиме

(11)

де - повний резерв ланцюга, що виходить з елемента  ;

резерв об'єкта а_0.

Таким чином, формули (10) і (11) дозволяють порахувати резерви будь-якої точки технологічно пов'язаної системи.

Зазначимо, що повний резерв (10) обчислений в одиницях ресурс першого етапу а₁ , він по суті є еквівалентом повного занл са цього ресурсу. Разом з тим величина

(12)

також є повним резервом (тобто у (х) = 0), але обчислена в одиницях кінцевого продукту, виробленого останнім L-м етапом. Формальнa відмінність (10) і (12) має змістовну інтерпретації цію, про що буде сказано нижче.

У комплекс надійності характеристик багатоетапної системи входить її живучість. Ця характеристика відображає здатність системи не допускати в ній каскадного розвитку збурюючих впливів. 

При такому визначенні живучості сформульовано її ставлення до систем з яскраво вираженим характером багатоетапним виробничого процесу.

Каскадний характер обурює вплив, набуваючи в багатоетапної системі, якщо не передбачені резерви, способи маневрування ними в системі з метою компенсації (гасіння) вихідного збурення. Останнє може мати як технічний (аварія, катастрофа), так і економічний (недопоставка ресурсів, додаткове завдання по випуску продукції, нестабільність параметрів і т. д.) характер.

Тенденція до створення великих одиничних потужностей тягне за собою тенденцію зростання збитків на одиницю впливу, що обурює. Для підтвердження достатньо простежити динаміку збитків в будь-якій галузі народного господарства будь-якої держави. Так, збиток відомої аварії з каскадним характером розвитку збурень в електроенергетиці США в 1965 р. обійшовся «ціною» 10 млн. дол./год. Подібна ж аварія в 1977р.-вже за «ціною» 40 млн дол./год. Каскадність збурюючих впливів позначається на тому, що повні збитки від їх дії можуть істотно перевершувати прямі. Так, прямі витрати на ліквідацію наслідків аварії на Чорнобильській АЕС оцінені в 4 млрд. руб. (у цінах 1986 р.), а з урахуванням втрат, пов'язаних зі скороченням обсягів виробництва в прилеглих районах, та інших витрат - близько 8 млрд. руб. Облік наступних «каскадів» (психологічних, медичних, соціальних, політичних і т. д.) виявить значне підвищення оцінок втрат (якщо їх взагалі можна оцінити).

Надійність розвитку народного господарства є комплексною характерою стійкийкості, що залежить від надійності складових його системи.(рис.2).

Рис. 2. Надійність розвтку народного господарства загалом

К – кількість галузевих комплексів;

J_k – множина номерів галузей в k-му комплексі;

j_k – номер галузі k-го комплексу.

Надійність розвитку планованої системи залежить не тільки від невизначеності вихідної інформації, але і від рівнів планових завдань.

Завдання з розвитку атомної енергетики можуть з'явитися одним з джерел недостатньою надійності розвитку ПЕК і народного господарства в цілому. Атомна енергетика як перспективна галузь, незважаючи на величезні дослідження і відчутну частку виробництва електроенергії на АЕС, знаходиться все ж на дослідно-промислової стадії з великим об'ємом пошукових робіт, тобто в тій стадії, коли інтенсивність «відмов» унаслідок новизни ще значна.

Є різні напрями у виборі технічних засобів в для АЕС, включаючи типи реакторів. Надійні характеристики, маневрені властивості різних технологій при цьому різні. Отже, розвиток ПЕК і народного господарства отримують різні надійні оцінки, залежно від орієнтації на ту чи іншу технологію роботи АЕС.

В орієнтації енергетики на АЕС необхідно зважити не тільки технічні аспекти, але й можливості суміжних галузей, охорони АЕС від недозволеного доступу до них, вимоги щодо утилізації або захоронення відходів і т. д.

Будь-яке порушення (тобто збурення) в цій безлічі умов спричинить каскад збурень у всбому технологічному ланцюжку виробництва енергії і позначиться на розвитку економіки країни вцілому. Міра цього впливу залежить від живучості, яка визначається, зокрема, технологічною політикою.

Перераховані проблеми характерні з урахуванням своєї специфіки і для всіх галузей з багатоетапним характером виробництва та техніко-економічних зв'язків. Для подібних систем апарат забезпечення надійності прийняття планових рішень може враховувати специфіку багатоетапні через оцінки живучості.

Для аналізу живучості технічних систем використовують оцінки, які характеризують частку або потік «відмов» функціонування з каскадним розвитком вихідного збурення.

Тут ми розглянемо такі характеристики живучості багатоетапних виробничих систем, які дають уявлення про глибину «проникнення» вихідного збурення, здатності системи протистояти йому.

Природно вважати систему тим більш живучою, чим меншою кількістю етапів (технологічних переділів) вона може погасити вихідне збурення.

Якщо домовитися, що коли збурення вважається погашеним (компенсованим), то живуча система - така, яка в змозі погасити виникаюче збурення. Живучість доцільно розглядати не по відношенню до одного якогось збурення, наприклад, до недопоставці ресурсу в розмірі 10%, а до класу збурень. Таким може бути безліч векторів недопоставок ресурсів, при цьому кожен вектор має ймовірність його реалізації. Можна визначити клас збурення, що характеризується випадковими величинами - відхиленнями в показниках нормативної бази об'єкта, наприклад, похибка в оцінці питомих показників нової технології.

Точно так само умови, за яких збурення вважається погашеним, доцільно ставити класом. Наприклад, збурення погашено, якщо недовипуск продукції склав не більше, ніж 5%, якість знизилася не більше, ніж на 3%, собівартість зросла не більш, ніж на 4% і т. д.

Тенденція наростання запасів відображає прагнення до забезпечення живучості виробничих систем. Проте однієї і тієї ж живучості можна досягти за рахунок різної структури запасів, раціональної політики запасів, за рахунок резервів технологічних елементів системи та іншими способами. Отже, можна говорити про оптимізацію живучості систем. Зокрема, погасити рівноваги вплив іноді доцільно не на першому, як це часто прийнято, а на наступних етапах.

Скажімо, багатоетапна виробнича система має ранг живучості п щодо аналізованої зв'язку «вхід - вихід» і даного збурення, якщо вона в змозі повністю погасити його пе менше, ніж за пначальних виробничих етапів.

Компенсаційні можливості планованої системи істотно залежать від її повного резерву. Останній може бути розрахований не тільки для збурень та на недопоставок ресурсів. Дослідження повного резерву, а отже, і живучості можна вести за різними напрямами, таким, наприклад, як ресурс - обсяг виробництва, ресурс - якість продукції, ресурс - ефективність розвитку системи, науково-технічний прогрес - ефективність розвитку. Для управління живучістю по кожному з цих напрямків необхідно виявити сукупність основних керуючих параметрів, вирішити виникаючі у зв'язку з цим оптимізаційні задачі.