9.17. На rc - цепочку, изображённую на рис. 9.1, подаётся
случайное
напряжение X(t)
c характеристиками
и
Найти математическое ожидание,
корреляционную функцию и дисперсию
напряжения Y(t)
на выходе цепочки.
Решая это уравнение при нулевом начальном условии методом вариации произвольных постоянных, получим:
Таким образом, случайный процесс Y(t) является результатом применения к случайной функции X(t) линейного однородного оператора
Значит,
Дисперсия процесса на выходе равна .
9.18.
На вход
дифференцирующего устройства поступает
случайный процесс X(t)
с математическим ожиданием
и корреляционной функцией
где
постоянная дисперсия X(t).
Определить
математическое ожидание и дисперсию
на выходе системы.
Реакция
имеет характеристики
Полагая
,
находим дисперсию
которая зависит от
и от коэффициента
характеризующего быстроту затухания
корреляционной связи между сечениями
случайной функции X(t)
при возрастании промежутка между ними.
При
малых значениях
корреляционная связь затухает медленно,
поэтому случайные функции X(t)
и Y(t)
изменяются со временем сравнительно
плавно. Следовательно, дифференцирование
X(t)
приводит к незначительным ошибкам.
Если
же величина
велика, корреляционная функция
убывает быстро, в составе случайной
функции X(t)
преобладают резкие беспорядочные
колебания, значит, дифференцирование
такой функции приведет к большим
погрешностям.
9.19. Случайная функция X(t) задана каноническим разложением:
Найти
математическое ожидание, дисперсию и
корреляционную функцию процесса
Запишем каноническое разложение случайного процесса Z(t):
Отсюда
следует, что
координатные функции
Каноническое
разложение корреляционной функции
имеет вид
или
.
Тогда
дисперсия процесса будет равна
9.20 – 9.29. На вход динамической системы поступает случайный сигнал X(t), характеристики которого известны. Работа системы описывается оператором L. Определить характеристики случайной функции Y(t).
9.30 – 9.34. Найти характеристики случайной функции X(t), заданной своим каноническим разложением.
