§ 5. Основные законы распределения

5.1. Распределения дискретных случайных величин

Пусть в каждом из n повторных независимых испытаний случайное событие А может произойти с одной и той же вероятностью р. Число появлений этого события в каждой серии n испытаний является случайной величиной. При этом вероятности событий X = m (m = 0, 1,…, n) вычисляются по формуле Бернулли

где q = 1 – р, (5.1)

а распределение случайной величины Х называется биномиальным.

Для получения этих вероятностей можно использовать производящую функцию

(5.2)

коэффициенты при x^m в которой равны вероятностям P_n(m).

Числовые характеристики биномиально распределенной случайной величины имеют вид:

математическое ожидание дисперсия асимметрия и эксцесс

(5.3)

В том случае, когда вероятности появления события А во всех испытаниях различны и равны p_i (i = 1, 2,…, n), производящая функция имеет вид

(5.4)

Для случайной величины Х – числа появлений события А в этой серии испытаний математическое ожидание и дисперсия определяются из соотношений:

(5.5)

Если в схеме Бернулли случайная величина Х представляет собой число испытаний до первого появления события А, ее закон распределения называется геометрическим, а вероятности событий X = m (m = 1, 2,…) вычисляются по формуле

(5.6)

Числовые характеристики геометрического распределения таковы:

(5.7)

5.1. Известно, что 20% всех рыб в водоеме составляет толстолобик. Составить закон распределения случайной величины Х – числа толстолобиков среди четырех выловленных рыб, найти ее числовые характеристики m_x, D(X) и _х.

 Число толстолобиков среди четырех выловленных рыб – величина случайная, распределенная по биномиальному закону. При этом p = 0,2, q = = 0,8; составим производящую функцию:

Запишем ряд распределения:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

Числовые характеристики случайной величины Х найдем по таблице распределения, а затем проверим с помощью соответствующих формул биномиального распределения.

Те же результаты могут быть получены по вышеприведенным формулам.



5.2. Производится 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, асимметрию и эксцесс распределения.

 Число независимых испытаний n = 10, вероятность появления события в каждом испытании р = 0,7. Число появлений события в данной серии испытаний является случайной величиной, распределенной по биномиальному закону. Находим ее числовые характеристики:

математическое ожидание

дисперсия

среднее квадратическое отклонение

мода распределения – это наивероятнейшее число m_o, удовлетворяющее неравенству

медиану распределения найдем из неравенства используя производящую функцию находим, что наименьшее значение функции распределения, удовлетворяющее этому неравенству, равно откуда следует, что m_e =7;

асимметрия распределения

эксцесс 

5.3. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за время Т одинаковы и равны р = 0,2. Найти числовые характеристики случайной величины Х – числа элементов, отказавших за время Т : m_x, D(X), _x, m_o, m_e, A, E.

5.4. Путем длительных наблюдений установлено, что в данной местности в апреле в среднем бывает 12 дождливых дней. Вычислить: а) дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа дождливых дней в апреле; б) асимметрию и эксцесс распределения.

5.5. Число появлений события в n повторных независимых испытаниях является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 7,2, а дисперсия равна 0,728. Найти число испытаний и вероятность появления события в каждом испытании.

5.6. Завод выпускает 60% изделий первого сорта и 40% изделий второго сорта. Наудачу выбирают 20 изделий. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа изделий второго сорта в выборке.

5.7. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75 и четвертого – 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего.

5.8. Два стрелка независимо друг от друга делают по два выстрела в одну мишень. Вероятности попаданий при каждом выстреле равны р₁ = 0,6 и р₂ = 0,8. Случайная величина Х – суммарное число попаданий в мишень в данном эксперименте. Составить ее закон распределения и вычислить математическое ожидание и дисперсию.

5.9. Производится стрельба из орудия по удаляющейся цели. При первом выстреле вероятность попадания равна 0,8, при каж-дом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается в 2 раза. Случайная величина Х – число попаданий в цель при двух выстрелах. Составить закон распределения, найти m_x и D(X).

5.10. Прибор состоит из пяти элементов. Отказ k-го элемента за время Т независимо от остальных элементов происходит с вероятностью Определить: а) математическое ожидание и дисперсию числа отказавших за время Т элементов; б) вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент прибора.

Указание. Вероятность того, что за время Т откажут ровно m элементов, равна производной m-го порядка производящей функции в точке х = 1.

5.11. Стрелок стреляет в цель до первого попадания. Найти математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов, если вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна 0,4.

5.12. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х – числа произведенных выстрелов и найти ее числовые характеристики.

5.13. Игра заключается в том, что монету бросают до первого появления герба. Если герб выпал при k-м бросании монеты, то игрок А получает k рублей от игрока В. Сколько рублей должен уплатить игрок А игроку В перед началом игры, чтобы игра была «справедливой» (когда математические ожидания выигрыша для каждого игрока равны нулю)?

5.14. На пути движения автомобиля 4 светофора, каждый из которых либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью 0,5. Составить функцию распределения числа пройденных автомобилем светофоров до первой остановки, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Если число испытаний n достаточно велико, вероятность р близка к нулю (или к единице), то распределение случайной величины X называется пуассоновским, а вероятности событий X = m (m = 0, 1,…, n) вычисляются по приближенной формуле Пуассона

(5.8)

причем степень приближения тем выше, чем больше число испытаний n.

Числовые характеристики распределения Пуассона таковы:

(5.9)

5.15. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р = 510 ^{ 4}. Составить закон распределения случайной величины Х – числа элементов, отказавших за время Т. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

5.16. Радиостанция ведет автоматическую передачу цифрового текста в течение 10 мкс. Работа ее происходит в условиях хаотической импульсной помехи, среднее число импульсов которой в секунду составляет 10⁴. Составить закон распределения случайной величины Х – числа импульсов помехи в период работы станции, ее математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность срыва передачи, если для этого достаточно попадания двух импульсов помехи.

5.17. Вероятность того, что в случайно взятой пробе стали процент углерода превысит допустимый уровень, равна 0,01. Определить, сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью 0,95 указанный эффект наблюдался по крайней мере 1 раз.

Допустим, что из совокупности N элементов, среди которых имеется M элементов, обладающих некоторым свойством, производится выборка n элементов, где n  N (задача о выборке). Распределение случайной величины Х – числа элементов в выборке, обладающих указанным свойством, называется гипергеометрическим, а вероятности событий X = m (m = 0, 1,…, n) вычисляются по формуле

(5.10)

5.18. В урне находится 6 белых и 4 черных шара. Наугад извлекают 3 шара. Найти числовые характеристики случайной величины Х – числа черных шаров в выборке.

5.19. Для сборки контрольного прибора требуется 3 индикатора. Всего имеется 10 индикаторов, из которых только 7 имеют необходимые параметры. Наудачу отбирают 4 индикатора (один – «про запас»). Составить закон распределения случайной величины Х – числа индикаторов в выборке, имеющих необходимые параметры, вычислить ее характеристики и найти вероятность того, что прибор может быть собран.

5.20. Из партии, содержащей 16 телевизоров, среди которых 6 телевизоров фирмы «N», выбраны случайным образом 5 телевизоров. Составить закон распределения случайной величины Х – числа телевизоров фирмы «N», оказавшихся в выборке, найти ее математическое ожидание и дисперсию.

5.21. В садке содержится 15 сазанов и 5 карпов. Случайная величина Х – число сазанов среди 4 выловленных рыб. Составить закон распределения случайной величины, найти ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.