2.2. Действия над векторами

В предыдущем параграфе мы определили вектор как направленный отрезок. Однако вектор можно определять еще и с помощью координат. Это позволяет использовать в векторной алгебре законы алгебры и анализа. Координатами вектора называют проекции вектора на координатные оси [2, гл. II, п. 5.3, 5.4]. Вектор, имеющий координаты а_x, а_y, а_z, можно записывать в двух равнозначных формах:

или

(9)

Выражение (9) называют разложением вектора по базисным векторам ( — единичные взаимно перпендикулярные векторы — базис в пространстве; — базис на плоскости).

Замечание. Если начало вектора находится в точке М₁ (x₁; y₁; z₁), а конец в точке М₂ (x₂; y₂; z₂), то вектор будет иметь координаты

. (10)

Пример 7 [1, к задачам № 21-30, п. 1]. Даны точки А(1; 6; 5) и В(3; 4; 5). Найти координаты вектора .

Решение

Принимая за начало вектора точку А, а за конец — точку В, по формуле (10) получим

Замечание. В координатной форме векторы считаются равными, если равны их соответствующие координаты, т.е.

Рассмотрим теперь, какие действия производятся над векторами и как они осуществляются. Следует только помнить, что эти действия можно выполнять как в векторной, так и в координатной формах. Все действия над векторами приведены в таблице 2.

Таблица 2

Действия над векторами

Название	Определение в векторной форме	Выражение в координатной форме
1. Сложение векторов	1) по правилу параллелограмма
	2) по правилу треугольника
2. Вычитание векторов	Как действие, обратное сложению:
3. Умножение вектора на число λ
4. Скалярное произведение векторов
5. Векторное произведение векторов
6. Смешанное произведение векторов

Пример 8 [1, к задачам № 21-30]. Даны векторы:

Найти:

Решение

Векторы заданы в виде разложений по базисным векторам. Найдем их координаты:

Выполним вышеуказанные действия над векторами, учитывая, что векторы заданы координатами. Используя таблицу 2, получим:

2.3. Применения векторов

Рассмотренные операции над векторами, а также получающиеся из них следствия широко используют в практике (табл. 3).

Таблица 3

Основные применения векторов

Словесное название	Выражение в
1	2
1. Длина вектора — длина отрезка
2. Единичный вектор — орт вектора
3. Угол между векторами
4. Условие
5. Условие
6. Условие компланарности векторов

Продолжение таблицы 3

1	2
7. Площадь параллелограмма S, построенного на векторах (SΔ = S)
8. Объем параллелепипеда Vпаралл, построенного на векторах

Пример 9 [1, к задачам № 21-30]. Даны координаты вершин пирамиды ДАВС: А (1; 2; –1), В (0; 1; 5), С (–1; 2; 1), Д (0; 1; 6). Средствами векторной алгебры найти:

1) координаты векторов

2) длину вектора

3) площадь грани АВС;

4) объем пирамиды ДАВС.

Решение

1. Сначала найдем координаты векторов . Как и в примере 7, по формуле (10) получим:

2. Найдем теперь координаты вектора Для этого воспользуемся 1, 2, 3 пунктами таблицы 2. Тогда получим:

Для определения длины вектора можно воспользоваться результатом пункта 1 из таблицы 3:

3. Угол между векторами найдем, используя п. 3 табл. 3:

4. Площадь грани АВС (см. п. 7, табл. 3,) равна:

Так как

то с учетом п. 1 табл. 3 получим

А площадь грани (ед.²).

5. Объем пирамиды ДАВС (см. п. 8 табл. 3) равен

Найдем смешанное произведение (см. п. 8 табл. 2):

Объем пирамиды .

Контрольные вопросы

1. Дайте понятие базиса на плоскости и в пространстве.

2. Дайте понятие координат вектора на плоскости и в пространстве.

3. Что такое скалярное произведение векторов? Где оно применяется?

4. Дайте определение векторного произведения векторов и укажите, где его применяют.

5. Дайте определение смешанного произведения векторов и укажите, где его применяют.