Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1. Понятие системы счисления.

Компьютер любую информацию представляет в двоичной системе счисления. Для сокращения записи машинной информации используют шестнадцатеричную систему счисления. Иногда мы в своей деятельности сталкиваемся с римской системой счисления. Поэтому разумно остановиться на некоторых сведениях, касающихся систем счисления.

Система (system) – набор объектов и отношений между ними, образующий единое целое. Под системой счисления (numeration system, notation) понимают совокупность средств и способов записи чисел.

Система счисления строится на основе нескольких положений:

• Выбираются некоторые разные целые числа b₁, b₂,b₃ . . ., b_k, … В этой системе счисления любое число по определенному правилу выражается через выбранные числа. Их называют базовыми числами системы счисления. Совокупность базовых чисел образует базу системы счисления: B={b₁, b₂, b₃, . . ., b_k, …}.

• Каждому базовому числу сопоставляется значок, называемый цифрой (b_i => c_i). Причем c_i ≠c_j , если i≠j. Набор цифр образует алфавит системы счисления:

C ={c₁ , c₂ ,…, c_k,… }.

• Любое число X в системе счисления по определённому правилу выражается через базовые числа и записывается в виде последовательности цифр, сопоставленных базовым числам, участвующим в выражении: α_L…α₃α₂α₁α₀. Вклад цифры в число – ее значение, величина числа равна сумме значений цифр, участвующих в его записи: X=сумма значений α_i.

• База системы счисления и правило, по которому число X выражается через базовые числа, должны быть такими, чтобы любое число можно было выразить через базовые числа единственным образом.

Системы счисления делят на непозиционные и позиционные. Основное различие между ними в том, что понимается под значением цифры записи числа. В непозиционной системе счисления значение цифры совпадает с соответствующим ей элементом базы.

Общеизвестная римская система счисления является непозиционной. В ней

• B={1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, …};

C={I, V, X, L, C, D, M, …}.

• Значение цифры записи числа равно соответствующему элементу базы со знаком плюс или минус.

• Со знаком минус могут быть взяты элементы базы, являющиеся степенями десяти (1, 10, 100, …). Знак минус приписывается элементу базы b, если следующей цифре в записи числа соответствует больший элемент базы b₁ (причем b₁ может быть равен только 5*b или 10*b). Иначе элементу базы, соответствующему цифре, приписывается знак плюс. Перед цифрой, порождающей слагаемое с минусом, должна стоять цифра, порождающая слагаемое с плюсом.

• Слагаемые с плюсом могут порождать идущие подряд не более трех одинаковых цифр с элементами базы, являющимися степенями десяти (1, 10, 100, …) или одна цифра с элементом базы 5, 50, 500,….

Поэтому для получения записи числа Х его следует представить в виде алгебраической суммы базовых чисел от больших к меньшим с учетом приведенных выше правил. Например, CCXLIX – запись числа 100+100-10+50-1+10=249. Римская запись числа 786= > 500+100+100+50+10+10+10+5+1 = DCCLXXXVI. В римской системе счисления запись числа является громоздкой, правила выполнения операций сложные, алфавит неограничен.

Задачи

1. Получить десятичную запись римских чисел: CMXLVIII, CCXLII.

2. Разработать и описать алгоритм получения десятичного числа по его римской записи.

3. Получить римскую запись десятичных чисел: 1674, 3899.

4. Разработать и описать алгоритм получения римской записи десятичного числа.