Системы счисления
Теоретический материал по теме «Системы счисления»
Для измерения количества информации надо выбрать соответствующий эталон (например, для веса: эталон: грамм; для расстояния - метр). Эталоном для подсчета количества информации логично считать слово минимальной длины, т.е. состоящее из одного символа. Символ может принимать только 2 различных значения (0 и 1), называют бит (binary digit – двоичный знак). Таким образом, бит – минимальная единица количества информации.
Система счисления – совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, которые имеют определенные количественные значения.
В непозиционной системе счисления значение цифры не зависит от позиции, в которой она находится. Пример: римская система счисления (I, V, X, C, M, L).
В позиционной системе счисления значение цифры зависит от позиции, в которой она находится. Пример (двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная системы счисления).
Названия позиционных систем счисления происходят от количества цифр, используемых в кодировании информации. Например: двоичная - две цифры (0 и 1), восьмеричная – восемь цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), десятеричная – десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и т.д.
Более привычна для нас десятичная система счисления, но также очень знакома шестидесятеричная (Самый простой пример: часы – час разделен на 60 минут, минута – на 60 секунд).
Компьютер воспринимает только позиционные системы счисления (двоичную, шестнадцатеричную и в старых поколениях ЭВМ использовалась восьмеричная).
Количество различных цифр, которые могут быть использованы для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Основание системы обозначается P.
Пример: для десятичной системы счисления Р = 10; для двоичной — Р = 2; для восьмеричной — Р = 8; для шестнадцатеричной — Р = 16 и т.д.
Значения цифр изменяются от 0 до Р-1. Значение любого числа представляет собой сумму произведений цифр на степень основания, равную позиции числа.
Пример: в десятичной системе счисления число 782:
-
Над каждым разрядом числа (единицами, десятками, сотнями) указывается номер его позиции, начиная с правого крайнего, присваивая ему значение нулевой позиции, т.е.
2 1 0
7 8 2
-
Используя полученные данные, заполним таблицу
|
Позиция |
2 |
1 |
0 |
|
Цифра |
7 |
8 |
2 |
|
Множитель |
102 |
101 |
100 |
В третьей строке «Множитель» под каждым разрядом числа указано основание системы счисления, в которой записано исходно число, в той степени, на какой позиции данный разряд находится. Проверьте: цифра 8 находится на первой позиции, поэтому в строке «Множитель» под цифрой 8 – записано 101.
-
Используя заполненную таблицу, можно записать исходное число 782 в таком виде:
782 = 7102 + 8101 + 2100
Такое правило записи используется для любой позиционной системы счисления. Немного по-другому запись выглядит для чисел, записанных в десятичном виде (десятичных дробей).
Пример: в десятичной системе счисления число 542,31
|
Позиция |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
|
Цифра |
5 |
4 |
2 |
3 |
1 |
|
Множитель |
102 |
101 |
100 |
10-1 |
10-2 |
Таким образом, в десятичной системе счисления:
542,31 = 5102 + 4101 + 2100 + 310-1 + 110-2
Такая сумма в математике называется рядом. В общем случае запись любого дробного числа в любой системе счисления можно представить в виде:
amam-1am-2 …а1а0,а-1а-2 … аs =
= a0 P 0 + a1 P 1 + …am-2 P m-2 + am-1 P m-1 + am P m ++ a-1 P -1 + a-2 P -2 + … + a-s P -s, где
нижние индексы определяют позицию цифры в числе (разряд);
положительные значения индексов — для целой части числа;
отрицательные значения индексов — для дробной части числа;
Р — основание системы;
а — цифра;
m — число разрядов в целой части числа;
s — число разрядов в дробной части числа.
Т.е. для целого числа отбрасываются все произведения с отрицательными значениями индексов.