Лабораторна робота №3

Вивчення ефекту Холла в напівпровідниках

Мета роботи: вивчення процесів взаємодії рухомих зарядів з магнітним полем та властивостей напівпровідників за допомогою ефекту Холла; визначення постійної Холла, концентрації і рухливості носіїв струму зразка.

Прилади та обладнання: установка для вимірювання ефекту Холла.

Теоретичні відомості

На заряджену частинку, яка рухається у магнітному полі зі швидкістю , діє магнітна складова сили Лоренца, що дорівнює добутку заряду частинки на векторний добуток її швидкості та магнітної індукції :

(1)

Напрямок сили Лоренца визначають за означенням векторного добутку або за правилом лівої руки: якщо ліву руку розмістити так, щоб лінії вектора магнітної індукції входили в долоню, а чотири витягнуті пальці збігалися з напрямком швидкості руху позитивно заряджених частинок, то відігнутий під прямим кутом великий палець вкаже напрямок сили, що діє на рухомий заряд. Для негативно заряджених частинок чотири пальці руки необхідно спрямувати проти вектора швидкості їхнього руху.

Якщо провідник, по якому протікає електричний струм помістити у магнітне поле, то на кожен електрон, що рухається з дрейфовою швидкістю (середньою швидкістю напрямленого руху) , діє сила Лоренца:

(2)

де Кл – заряд електрона.

На рис. 1,а зображено перетин металевого провідника прямокутної форми, по якому протікає електричний струм. Електрони провідності схематично зображені кружечками зі знаком «–», а позитивні іони, що утворюють жорстку кристалічну гратку суцільного металевого провідника, – кружечками зі знаком «+». Під впливом електричного поля напруженістю електрони дрейфують ліворуч зі швидкістю . Оскільки заряди електронів негативні, то струм протікає у напрямку осі Оу. Густина струму , згідно з законом Ома у диференціальній формі:

(3)

де – питома електропровідність металу.

Рис. 1.

Якщо у напрямку осі Ох увімкнути зовнішнє магнітне поле з індукцією , то під дією сили Лоренца напрямок дрейфової швидкості руху електронів зміниться (рис. 1,б). Електрони відхилятимуться вниз і скупчуватимуться на нижній грані провідника, тому на нижній грані провідника створюватиметься підвищена «концентрація електронів», а відповідно на верхній грані – занижена (надлишок позитивних зарядів). У результаті виникає поперечне електричне поле, напруженість якого , напрямлена від верхньої грані до нижньої. Це поле діє на кожен вільний електрон із силою: , спрямованою від нижньої до верхньої грані провідника. Процес збільшення «концентрації електронів» на нижній грані провідника і відповідного збільшення позитивних зарядів на верхній грані провідника відбуватиметься доти, доки величини сил поперечного електричного поля і магнітного поля, що діють на вільний електрон, не зрівноважаться (як видно з рис. 1,в, вони напрямлені протилежно). Отже, можна записати таке співвідношення:

(4)

або, з урахуванням напряму векторів, , звідки:

(5)

У стаціонарному стані (якого досягають дуже швидко) рух електронів у середньому має горизонтальний напрямок (за умов, вказаних на рис. 1), а всередині металу з’являється поперечне електричне поле, напруженість якого визначається за формулою (5). Це поле діє на позитивні іони кристала із силою, спрямованою донизу. Провідник при цьому притискується до опори, а за її відсутності – прискорено рухається донизу.

Виникнення у металі (або напівпровіднику) зі струмом густиною , поміщеному в магнітне поле з індукцією , електричного поля, спрямованого перпендикулярно до напрямку струму і магнітного поля , називається ефектом Холла.

Це явище, вперше виявлене у 1879 р. американським фізиком Е.Х. Холлом на пластинці золота, і було назване ефектом Холла, або поперечним гальваномагнітним явищем, оскільки тоді ще не було з’ясовано природи провідності металів.Схематично ефект Холла показаний на рис. 2.

Визначимо залежність напруженості поперечного електричного поля від сили струму, який протікає по провіднику, індукції зовнішнього магнітного поля та розмірів пластини.

Запишемо густину струму у вигляді:

,

де п – концентрація носіїв заряду. Звідки:

(6)

Рис. 2. Схематичне зображення ефекту Холла. 1 – електрони; 2 – зонд; 3– магніти; 4– магнітне поле; 5 – джерело струму.

Підставимо рівняння (6) у (5) і одержимо:

, (7)

де

(8)

постійна Холла, одержана без урахування розподілу електронів за швидкостями.

Точніший розрахунок, з урахуванням закону розподілу електронів за швидкостями і з використанням класичної статистики, приводить до виразу для сталої Холла:

(9)

У разі використання статистики Фермі-Дірака одержуємо вираз (8).

До напівпровідників, в яких концентрація електронів менша ніж у металах, застосовують класичну статистику, а для обчислення постійної Холла використовують формулу (9).

Постійна Холла обернено пропорційна до концентрації носіїв ефлектричного заряду. Одиниці її вимірювання в СІ : .

На практиці зручніше вимірювати не напруженість електричного поля , а різницю потенціалів Холла , що виникає між гранями металевої пластинки, та силу струму І замість густини струму . Для цього рівняння (7) помножимо на площу поперечного перерізу пластини (див.рис.1,в). Тоді

.

Вважаючи холлівське електричне поле в пластині однорідним, можна записати . Отже,

, (10)

де а – лінійний розмір пластини у напрямку магнітного поля.

Величини , , І та а можна виміряти експериментально і за їх значеннями обчислити постійну Холла:

. (11)

За виміряним значенням постійної Холла можна визначити:

1. концентрацію носіїв струму в провідниках і напівпровідниках;

2. тип провідності, тобто знак носіїв струму в напівпровіднику, оскільки знак постійної Холла збігається зі знаком заряду носіїв струму.

Для визначення концентрації носіїв струму в напівпровіднику вико­ристаємо формулу (9), підставивши в неї значення заряду електрона:

. (12)

Для визначення рухливості носіїв струму запишемо вираз для питомої електропровідності напівпровідника:

(13)

де – рухливість носіїв заряду, що визначається відношенням середньої швидкості впорядкованого руху зарядів до напруженості електричного поля, що викликало цей рух.

З (13) знайдемо , враховуючи, що , де – питомий опір напівпровідника, а для концентрації п, скориставшись виразом (12), одержимо:

. (14)

Питомий опір зразка визначаємо, вимірявши спад напруги між зондами, які торкаються до поверхні напівпровідника на відстані вздовж зразка у разі проходження через нього постійного струму І:

(15)

Під час експериментального дослідження ефекту Холла необхідно врахувати, що із зміною напрямку магнітного поля або напрямку струму поперечна різниця потенціалів також змінює знак. За цією обставиною можна легко відрізнити ефект Холла від інших ефектів.