III. Матрицы. Определители. Системы линейных алгебраических уравнений

1. Матрицы. Действия над матрицами

Матрицей порядка называется прямоугольная таблица чисел

(1)

состоящая из m строк и n столбцов, рассматриваемая как единый алгебраический объект, над которым могут производиться определенные алгебраические действия. Часто пишут , , 1 .

Множество всех матриц порядка обозначим , множество всех квадратных матриц порядка – через .

Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называют матрицу , определяемую по правилу при этом пишут .

Суммой матриц , называют матрицу , определяемую по правилу ; при этом пишут . Складывать можно лишь матрицы одинакового порядка.

Произведением матрицы на матрицу называют матрицу , элементы которой определяются по правилу ; при этом пишут .

Произведение матриц определено, если количество столбцов первого множителя А совпадает с количеством строк второго множителя В. (Можно сказать, что элемент матрицы есть результат скалярного произведения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В).

Введенные операции над матрицами обладают всеми известными свойствами суммы и произведения чисел

кроме одного: вообще говоря,

Матрицу

называют транспонированной к матрице (1) и пишут ; получается из А переменой ролей столбцов и строк.

Пример 1. Найти , если

, , .

Решение.

= .

(Поясним, как получены отмеченные элементы и матрицы Т.к. имеет индекс , то он равен сумме произведений соответствующих элементов 2-й строки матрицы B и 1-го столбца матрицы C:

.

Аналогично для нахождения элемента нужно задействовать 3-ю строку матрицы B и 2-й столбец матрицы C:

).

Отсюда получаем

Матрица порядка m 1 называется столбцом, а порядка 1 n – строкой. Система столбцов называется линейно зависимой, если существует система чисел такая, что

1) ;

(2)

Если же равенство (2) возможно лишь при то система столбцов называется линейно независимой. Левая часть равенства (2) называется линейной комбинацией столбцов Аналогичное определение дается для строк.

Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называется матрица состоящая из нулей.

Единичной матрицей порядка называется квадратная матрица , на главной диагонали которой, тянущейся слева сверху вправо вниз, находятся единицы, а остальные элементы равны 0:

Часто пишут просто I, опуская индекс n там, где это не приводит к недоразумению.

Матрицы O и I играют роль нуля и единицы: (операции считаются дозволенными).

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0, называется треугольной.

2. Определители

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое det A (иногда ).

Теорема 1. Назовем неупорядоченный набор из n элементов матрицы правильным, если никакие два элемента этого набора не принадлежат одному столбцу или одной строке матрицы A. Тогда, используя лишь операции перестановки столбцов и перестановки строк, можно расположить элементы правильного набора на главной диагонали. Более того, если сделать это двумя способами и – число использованных операций (перестановок столбцов и строк) при первом способе, а – при втором способе, то является четным числом, т.е.

Определение. Каждому правильному набору поставим в соответствие вполне определенное число – знак набора где k – число операций, необходимых для размещения элементов на главной диагонали. Определителем матрицы (или определителем n-го порядка) называется число

где суммирование производится по всем различным правильным наборам.

Пользуются и другим обозначением определителя матрица :

Определитель обладает следующими свойствами:

1) ;

2) при перестановке двух столбцов (строк) меняется знак определителя;

3) определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (две одинаковые строки), равен нулю;

4) общий множитель столбца (строки) можно вынести за знак определителя (отсюда следует, что если один из столбцов (одна из строк) матрицы состоит из нулей, то );

5) если к элементам некоторого столбца (строки) некоторой матрицы А прибавить соответствующие элементы другого столбца (другой строки), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель новой матрицы В будет равен

6) если какой-либо столбец (какая-либо строка) является линейной комбинацией других столбцов (других строк) матрицы А, то

7) обозначим через определитель матрицы порядка получающейся из матрицы путем зачеркивания i-й строки и j-го столбца; число называется алгебраическим дополнением элемента для любого k, справедливы равенства:

,

(разложение определителя по k-му столбцу);

8)

Определитель матрицы порядка равен элементу матрицы:

Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса или правилом «3 5».

+ – а б Рис. 1

Рис. 2

Правило Саррюса использует схему, изображенную на рис. 1. Правило состоит в том, что девять чисел, составляющих определитель, разбиваются на шесть троек по схеме (каждый элемент участвует дважды). Каждой тройке придается знак «+», если элементы, входящие в нее, расположены на главной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным главной диагонали (рис.1, а); или «–», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали (рис.1, б) (побочная диагональ тянется справа-сверху-влево-вниз). Затем берется сумма произведений элементов троек с учетом их знаков.

Правило «3  5» использует схему (к матрице добавлены первые два столбца).

Элементы матрицы соединены шестью отрезками, как показано на рис.2. Произведению элементов, составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придается знак «+», если отрезок параллелен главной диагонали, и «–», если отрезок параллелен побочной диагонали. Определитель A равен сумме произведений элементов троек с учетом их знаков.

Определитель треугольной, в том числе и диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:

Для вычисления определителя иногда оказывается удобным приведение матрицы к треугольному виду с использованием свойств определителя.

Пример 2. Вычислить определитель

а) методом Саррюса;

б) путем приведения к треугольному виду.

Решение. а) По правилу Саррюса

б) Имеем (запись означает, что к элементам j-й строки, умноженным на , прибавляются соответствующие элементы k-й строки, умноженные на ; результат этой операции записывается в строке напротив записи):

=

= = 13 =

= 13(1 1 (–3))= –39.

Желательно перед началом преобразований добиться того, чтобы в левом верхнем углу стояло число 1 или (–1); этим и объясняется первая операция  перестановка первых двух строк.

Для вычисления определителей более высокого порядка удобнее пользоваться свойством 7.

Пример 3. Вычислить определитель

а) разложением по какой-либо строке или столбцу;

б) путем приведения к треугольному виду.

Решение. а) Лучше разложить по второй строке или третьему столбцу, т.к. наличие нуля уменьшает вычисления; выберем вторую строку, тогда

б) Имеем (пояснение ниже):

=

Поясним выкладки. Если в i-ю строку записывается результат операции то определитель матрицы увеличится в раз; чтобы этого не произошло, мы при каждом таком действии домножаем определитель на

( в нашем примере  последовательно на ).

Матрица определитель которой равен нулю, называется

вырожденной.

Геометрический смысл определителя состоит в следующем:

1) модуль определителя равен площади параллелограмма, построенного на векторах и

2) модуль определителя

равен объему параллелепипеда, построенного на векторах