10.7. Квантовый ротатор

Рассмотрим сначала случай одномерного жесткого ротатора, под которым понимают частицу массой m, движущуюся по окружности радиуса R. Если m и R имеют порядок атомных, одномерный ротатор называется квантовым. Потенциальная энергия U, удерживающая частицу на окружности, постоянна; ее удобно положить равной нулю. Удобно перейти также к полярной системе координат R, где – угол, образуемый радиус-вектором R с осью X. Уравнение Шредингера в этом случае будет иметь вид

или

(10.16)

Здесь откуда

где – момент инерции частицы.

Решение уравнения (10.16) можно записать в виде

(10.17)

где коэффициент получен из условия нормировки Условие однозначности функции (10.17) требует, чтобы при изменении угла на она принимала бы свое прежнее значение, т.е. должно выполняться равенство

Это так называемое периодическое (или, как говорят, циклическое) граничное условие приводит к равенству

откуда получаем

Здесь – любое целое число. Откуда

Следовательно, что момент импульса одномерного ротатора принимает лишь дискретные значения, кратные постоянной Эта постоянная, таким образом, является элементарным квантом действия. Квантуется и энергия одномерного ротатора:

В случае трехмерного квантового ротатора – микрочастицы, движущейся по поверхности сферы радиуса R, квантуется момент импульса частицы:

где – так называемое азимутальное, или вращательное квантовое число. Поскольку J – постоянная величина для любого квантового состояния, то и момент импульса является постоянным. Так и должно быть, так как закон сохранения момента импульса справедлив и в квантовой механике, как и в классической. Сила, действующая на частицу, направлена к силовому центру, действие которого и заставляет частицу двигаться по поверхности шара, т.е. противоположны направлению радиус-вектора R. Поэтому момент силы, действующий на ротатор со стороны силового центра, откуда и следует, что L = const.

Квантуется также проекция момента импульса на произвольное z-направление в пространстве,

где – квантовое число, определяющее проекцию момента импульса частицы. Из условия получаем квантовое что Следовательно, квантовое число может принимать все значения от –J до J – всего 2J + 1 значений. Дискретность допустимых значений квантового числа означает, что возможны только некоторые направления момента импульса (рис. 10.). Данные рисунка соответствуют значению l = 2; радиус полуокружности равен (в принятом масштабе) L, т.е. Это обстоятельство называется пространственным квантованием.

Энергия трехмерного ротатора принимает значения, равные

(10.18)

Как видим, квантуется и полная энергия ротатора. В основном состоянии, т.е. при J = 0, имеем E0 = 0 – нулевая энергия у ротатора отсутствует.

Расстояние между соседними уровнями энергии ротатора

Увеличивается с ростом номера уровня (квантового числа J), так

Рис. 10.

что уровни энергии ротатора не эквидистантны. Относительное расстояние между энергетическими уровнями

при т.е. спектр энергии становится непрерывным (движение ротатора принципу соответствия Бора удовлетворяет). В классическом приближении, когда – квантование энергии исчезает – спектр энергии будет непрерывным. Заметим, что в любом состоянии (J = const) сохраняется и энергия ротатора.

Волновая функция пространственного ротатора определяется двумя квантовыми числами J и m_J: Эти квантовые числа и определяют квантовое состояние ротатора. Поскольку при этом энергия ротатора определяется только одним квантовым числом J, то все уровни энергии, кроме основного (J = = 0), вырождены. Кратность вырождения определяется числом значений m_J, возможных при заданном J, и равна w_J = 2J + 1. Столько существует собственных функций соответствующих одному и тому же значению энергии E_J.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Астахов А.В. Курс физики. Механика. Кинетическая теория материи. –М.: Физматгиз, 1977.

2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. –М.: Наука, 1976.

3. Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. Т. 1. –М.: Высшая школа, 3003.

4. Бордовский Г.А., Борисенок С.В., Гороховатски Ю.А., кондратьев А.С., суханов А.Д. Курс физики. Физические основы механики. –М.: Высшая школа 2004.

5. Геворкян Р.Г. Курс физики. –М.: Высшая школа, 1979.

6. Гольдин Л.Л.,Новикова Г.И. Введение в квантовую физику. –М.: Наука, 1988.

7. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т. 1. –М.: Дрофа, 2003.

8. Кингсеп А.С., Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основы физики. Т. 1. -М.: Физматлит, 2001.

9. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. –М.: Наука, 1971.

10. Курс физики / Под ред. Лозовского В.Н./. Т. 1. –СПб.: Лань, 2000.

11. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. –М.: Наука, 1965.

12. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности.-М: Высшая школа, 1986.

13. Мессиа А. Квантовая механика. Т. 1. –М.: Наука, 1978.

14. Мултановский В.В. Курс теоретической физики. –М.: Просвещение, 1988.

15. Наркевич И.И., Волмянский Э.И., Лобко С.И. Физика. –Минск: Новое знание, 2004.

16. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. –М.: Высшая школа, 1990.

17. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. Механика. –М.: Наука, 1974.

18. Стрелков С.П. Механика. –М.: Наука, 1978.

19. Суханов А.Д. Лекции по квантовой физике. –М.:Высшая школа, 1991.

20. Суханов А.Д. Фундаментальный курс физики. –М.: Агар, 1996.

1 Вероятность – это отвлеченное число, определяющее меру возможности наступления или не наступления какого-либо события. Оно может принимать значения от 0 до 1. Нуль означает невозможность события, единица – достоверное его наступление. Вероятность события, заключающегося в попадании частицы в какую-либо точку, можно определить, разделив число частиц, попавших в эту точку на общее число падающих на экран частиц.

1 Следует отметить, что в оптике принято говорить об интенсивности волны, хотя квадрат амплитуды световой волны и в оптике определяет вероятность попадания фотона (частицы света) в ту или иную точку пространства