Глава 3

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ И УРАВНЕИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

3.1. Основные законы динамики материальной точки

Динамика – это раздел механики, в котором изучается движение тел с учетом их масс и сил, действующих на тела. Три основных закона динамики были сформулированы Ньютоном и носят названия законов Ньютона. В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон инерции Галилея.

Из закона инерции вытекает, что выйти из состояния покоя или изменить скорость своего движения – приобрести ускорение тело может только при воздействии на него других тел. Эти воздействия, как показывает опыт, могут иметь самую различную природу, но их влияние на движение тел оказывается всегда одинаковым – тело получает ускорение движения. Поэтому оказывается возможным все многообразие действий тел друг на друга в отношении их влияния на движение тел описать единым образом, введя понятие силы. Силу можно определить как физическую величину, характеризующую действие на данное тело других тел, в результате чего тело получает ускорение движения. Ее можно определить и как физическую причину, вызывающую изменение состояния движения тел – появление ускорений и возникающую при действии на них других тел. Это означает, что если под действием тела В тело А приобретает ускорение, говорят, что на тело А со стороны тела В действует сила.

Поскольку действие на тело силы проявляется в ускорении этого тела, то и саму силу можно охарактеризовать количественно и направлением по величине и направлению сообщаемого этой силой ускорения. Отсюда следует, что физическая величина сила является величиной векторной, характеризующейся величиной (модулем) и направлением в пространстве. Направление силы – это прямая, вдоль которой она направлена (эта прямая называется линией действия силы). Кроме того, сила имеет точку приложения (материальную точку, на которую она действует – тело А) и материальный источник (действующее на материальную точку тело – тело В).

Тот факт, что изменение движения тела происходит под воздействием силы, означает, что тела обладают свойством сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения. Все тела сопротивляются попытке привести их в движение или изменить величину и направление скорости. Это свойство тел называется инертностью. У разных тел инертные свойства проявляются не в одинаковой степени. При одном и том же воздействии (действующей силе) одни тела получают большее ускорение движения другие меньшее. Чем больше инертность тела, тем меньшее ускорение приобретает тело при одном и том же воздействии, и наоборот. Инертность тела характеризуется физической величиной, называемой массой m. Следовательно, масса есть мера инертности тела. Чем больше масса тела m, тем меньшее ускорение a приобретает тело под действием силы. С учетом всего сказанного физическую величину силу F можно определить как

(3.1)

Поскольку направления векторов силы F и ускорения a совпадают, то масса тела есть величина скалярная и положительная (m > > 0).

Введя понятие массы тела, можно уточнить понятие материальной точки. Материальная точка – это тело, при изучении движения которого можно отвлечься от всех его свойств, кроме массы. Каждая материальная точка, таким образом, характеризуется величиной своей массы.

Формула (3.1) является не только простым определением физической величины силы, но и физическим законом. Как физический закон его записывают в виде

(3.2)

и формулируют так: произведение массы тела на ускорение равно действующей на тело силе. Это утверждение называется вторым основным законом динамики или вторым законом Ньютона. Смысл выражения (3.2) как физического закона состоит в том, что силу и массу можно определить независимо от соотношения (3.2) способом (их обычно находят из опыта). Поэтому по известной силе, действующей на материальную точку и ее массе можно определить ускорение материальной точки, а значит, и закон движения материальной точки. Второй закон динамики выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Заметим, что если тело свободно, т.е. если F = 0, то и a = 0 – тело либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Закон инерции, таким образом, является следствием второго закона динамики. Однако закон инерции выделен Ньютоном в отдельный закон динамики, так как он устанавливает существование особого класса систем отсчета – инерциальных систем отсчета.

Опыт показывает, что все действия тел друг на друга носят характер взаимодействия. Это означает, что если тело 1 сообщает ускорение телу 2, то и тело 2 сообщает ускорение телу 1. Ньютон установил общее свойство всех взаимодействий, согласно которому силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны:

(3.3)

Это утверждение носит название третьего закона динамики или третьего закона Ньютона. Из третьего закона следует, что силы всегда появляются парами, их называют силами действия и противодействия. Обе эти силы являются силами одной природы. Они приложены к разным телам, и поэтому не уравновешивают друг друга.

Третий закон динамики, как и первый и второй, также выполняется только в инерциальных системах отсчета.

В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны по модулю в любой момент времени, независимо от относительного движения материальных точек. Это значит, что если сила действия, например , изменится, то одновременно с ней изменится и сила противодействия . Это утверждение соответствует ньютоновскому представлению о мгновенном распространении взаимодействий – представлению, которое носит название принципа дальнодействия. Согласно этому принципу, взаимодействие между телами распространяется в пространстве с бесконечной скоростью. В действительности же это не так: скорость распространения взаимодействий, хотя и велика, но конечна и не превышает скорость света в вакууме. Поэтому если изменить положение одного тела, то это отразится на другом теле не в тот же момент, а по истечении промежутка времени , где R – расстояние между телами. Отсюда следует, что третий закон динамики справедлив только для таких взаимодействий, продолжительность которых велика по сравнению со временем распространения взаимодействий. Это будет иметь место в том случае, если скорость тел до и после взаимодействия .

Кроме рассмотренных трех законов Ньютона, фундаментальным законом динамики является и установленный на опыте принцип суперпозиции, называемый также принципом независимого действия сил. Согласно этому принципу, если на материальную точку действуют несколько (или, как говорят, система) сил F₁, F₂, F₃, … ,F_n,, то: 1) действие каждой силы не зависит от действия других сил, т.е. каждая сила сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщала бы если бы других сил не было; 2) ускорение, получаемое материальной точкой при одновременном действии на нее нескольких сил, равно векторной сумме ускорений, получаемых точкой от каждой из сил в отдельности. Согласно первой части принципа суперпозиции, ускорение, сообщаемое каждой силой системы a_i = F_i / m, i = 1, 2, 3, … n. Согласно второй части принципа суперпозиции, полное ускорение, приобретаемое материальной точкой под действием системы сил,

откуда

(3.4)

Соотношение (3.4) выражает собой второй закон динамики материальной точки при действии на нее системы сил. Оно показывает, что совокупное действие системы сил эквивалентно действию одной силы F, называемой равнодействующей и равной векторной сумме всех действующих на точку сил