Глава 6

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

6.1. Кинематика твердого тела

Твердым (или абсолютно твердым) телом называется такое тело, деформациями, т.е. изменением формы и размеров, которого можно пренебречь. В твердом теле расстояние между двумя любыми точками не меняется при движении. Понятие твердого тела, как и понятие материальной точки, является абстракцией (моделью), поскольку все реальные тела при определенных условиях в той или иной степени деформируются.

Любое сложное движение твердого тела можно рассматривать как совокупность двух движений: поступательного и вращательного. Поступательным движением твердого тела называют такое его движение, при котором любая ось, связанная с телом, сохраняет неизменным направление в пространстве, т.е. перемещается параллельно самой себе. При поступательном движении все точки твердого тела движутся по одинаковым траекториям, а также одинаковы скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени. В самом деле, представим себе две произвольные точки тела С и А, рдиусы-векторы которых относительно начало координат О есть r_C и r_A (рис. 6.). Из рис. 6 видно, что

r_A = r_C + CA. (6.1)

Так как при поступательном движении твердого тела вектор CA остается неизменным и по модулю, и по направлению, то дифференцируя (6.1) по времени, поучим

v_A = v_C. (6.2)

Продифференцировав по времени обе части равенства (6.2), получим, что

a_A = a_C.

Отсюда следует, что при поступательном движении скорости и ускорения всех его точек одинаковы. Поэтому поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-либо одной его точки. Следовательно, кинематику поступательного движения твердого тела можно свести к кинематике одной материальной точки. Обычно в качестве такой точки берут центр инерции С твердого тела.

Вращательным движением называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами, расположенными на одной прямой, называемой осью вращения.

Для описания вращения твердого тела с закрепленной осью вращения используют величины, относящиеся ко всему телу в целом, а не к отдельным его точкам. Такими величинами являются угол поворота тела и угловые скорость и ускорение тела. Если ось вращения совпадает с координатной осью Z, направленной горизонтально к наблюдателю, то угол – это двугранный угол между плоскостью, проходящей через эту ось Z и произвольную точку М тела, и координатной плоскостью ZX. Неподвижную плоскость ZX в данном случае можно рассматривать в качестве тела отсчета. Положение точки М можно определить радиус-вектором или декартовыми координатам

где – расстояние точки М от оси вращения.

При вращении тела угол поворота изменяется со временем, т.е.

Зависимость называется законом вращения тела. Поскольку тело твердое, все его точки совершают за время одинаковые угловые перемещения Поэтому угловая скорость всех точек тела будет одинакова. Будет одинаково и угловое ускорение Линейная скорость v какой-либо точки тела связана с угловой скоростью и расстоянием этой точки от оси вращения соотношением (1.19), т.е. Его можно записать в векторной форме, если рассматривать угловую скорость, как вектор модуль которого равен угловой скорости а направление совпадает с осью вращения в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 6.3). Как видно из рис. 6.3, где – угол, между вектором r и осью Z. Вектор перпендикулярен векторам и r образует с ними правую тройку векторов, поэтому это соотношение представляет собой модуль векторного произведения Эта формула

Рис. 6.3

и определяет векторную связь линейной и угловой скоростей точки. Если представить вектор r в идее суммы вектора направленного вдоль оси вращения, и вектора проведенного из центра окружности к точке М и по модулю, равного ρ, и учесть, что как векторное произведение однонаправленных векторов, то получим

_(6.3)

_{Движение тела, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях, называется плоским движением. Произвольное плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения центра инерции и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции. Действительно, положение любой точки А тела определяется радиус-вектором (6.1), rА = rC + CA, где rC – радиус-вектор центра масс, СА – вектор, определяющий положение точки А относительно системы координат X′Y′Z′ с началом координат, помещенным в центр масс С. По отношению к неподвижной (лабораторной) системе координат XYZ точка А движется поступательно вместе с центром масс С, по отношению к подвижной системе координат X′Y′Z′ это движение представляет собой вращательное движение. Поэтому производная по времени от вектора СА есть линейная скорость vAC точки А при вращении тела вокруг центра масс С (т.е. относительно осей X′Y′Z′). Эта линейная скорость связана с угловой скоростью ω тела соотношением ω⤫CA. С учетом этого дифференцируя по времени радиус-вектор rА, получим}

_(6.4)

_{где vA – линейная скорость точки А тела, vC – скорость центра масс тела. Таким образом, скорость любой точки А твердого тела складывается геометрически из скорости центра масс и скорости, которую точка А получает при вращении вокруг центра масс.}

_{При плоском движении тела можно указать так называемую мгновенную ось вращения – прямую, проходящую через те неизменно связанные с тело точки, которые в данное мгновение остаются неподвижными. В случае цилиндра, катящегося без скольжения, мгновенная ось вращения проходит через точки М соприкосновения цилиндра с плоскостью, так как эти точки остаются неподвижными (рис. 6.4).}

_{Поскольку vC = ω⤫MC,}

_то

_{Следовательно, плоское движение можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенной оси.}