
– интеграл по состояниям, называемый статистическим интегралом (или статистической суммой); интегрирование проводится по всем состояниям с энергией из интервала от E до E + dE.
Распределения, определяемые выражениями (3.26) и (3.27) называют распределениями Гиббса соответственно в случае дискретного и непрерывного спектра энергии.
Глава 4
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
4.1. Средняя длина свободного пробега молекул газа
Участвуя в
тепловом движении, молекулы газа
непрерывно сталкиваются друг с другом.
Среднее расстояние
,
проходимое молекулой между двумя
последовательными столкновениями,
называют средней длиной свободного
пробега, а соответствующий промежуток
времени
– средним временем свободного пробега.
Очевидно, что
где
–
средняя (арифметическая) скорость
теплового движения молекул.
Будем считать,
что молекула А
движется относительно неподвижной
молекулы В
со средней относительной скоростью
Введем параметр столкновения
называемый прицельным расстоянием,
определив его как расстояние между
центром одной молекулы (А)
и линией первоначального движения
другой молекулы (В).
Столкновение между этими молекулами
произойдет, если прицельное расстояние
где
–
диаметр молекулы, т.е. если центр молекулы
В окажется
внутри диска площадью
с центром, совпадающим с центром молекулы
А. Эту
площадь называют эффективным сечением
столкновения молекул; 𝜌
называют также эффективным радиусом
взаимодействия. За время t
с молекулой А
столкнутся все те молекулы, которые
попадут в объем круглого цилиндра с
осью, направленной вдоль вектора скорости
vотн,
площадью основания
и высотой
(рис. 4.1, а).
Число столкновений за время t
будет равно числу молекул в указанном
объеме, т.е. равно
где n
– число молекул
в единице объема газа. За время
в
среднем произойдет только одно
столкновение, так что
Откуда
Для определения
предположим, что до столкновения молекулы
имели скорости v1
и v2.
Тогда вектор относительной скорости
vотн
= v1
– v2.
Из треугольника скоростей (рис. 4.1, б)
по теореме косинусов имеем
Среднее значение квадратов скоростей
всех молекул вследствие хаотичности
теплового движения одинаково:
обозначим эту величину
Кроме того, так как все направления
движения молекул равновероятны, то
косинус угла
между векторами v1
и v2
после каждого столкновения одинаковое
число раз может принимать равные по
модулю положительные и отрицательные
значения, поэтому среднее значение
косинуса
Тогда, усредняя значение квадрата
относительной скорости, будем иметь
а) б)
Рис. 4.1
Поскольку, как
отмечалось в п. 3.6, средняя арифметическая
и
средняя квадратичная
скорости пропорциональны друг другу,
то из этого равенства находим, что
Подставляя это в
выражение для τ, получим
среднее время свободного пробега
молекулы
(4.1)
и среднее расстояние свободного пробега
(4.2)
Среднее число столкновений молекул за единицу времени
(4.3)
как и должно быть, чем больше размеры молекул и чем больше их концентрация, тем чаще сталкиваются молекулы друг с другом.
Газ можно считать
разреженным, а значит, и идеальным, если
средняя длина свободного пробега
молекулы много больше диаметра молекулы:
Подставляя сюда выражение (4.2), придем
к тому же критерию идеальности газа
(2.1).