3.8.2. Распределения Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака

В случае дискретного спектра энергии частицы нас, как и прежде, будет интересовать среднее число частиц в заданном i-ом квантовом состоянии с энергией Зависимость величины от энергии определяет распределение по состояниям частиц квантового идеального газа с дискретным спектром энергии. В квантовой статистической физике показывается, что эта зависимость имеет вид

(3.22)

где μ – уже упоминаемый выше химический потенциал частицы. Функция (3.22) называется функцией распределения Ферми- Дирака частиц по энергиям в случае дискретного спектра. Так как в случае фермионов каждое состояние может быть либо занято, либо свободно, – в среднем занято не больше, чем один раз ( ). Поскольку экспонента – величина положительная, то из (3.22) следует, что так что распределение Ферми – Дирака удовлетворяет принципу Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона с определенным направлением спина.

Заметим, что величина изменяется в тех же пределах что и вероятность, поэтому функцию (3.22) можно рассматривать как вероятность заполнения уровня энергии .

При абсолютном нуле температуры распределение Ферми – Дирака имеет вид

Действительно, при показатель степени экспоненты стремится к а сама экспонента – к нулю; при показатель степени экспоненты и сама экспонента стремятся к , а функция – нулю. График такого распределения показан на рис. 3.6. На рис. 3.6 видно, что при абсолютном нуле температуры все уровни вплоть до уровня с энергией заняты электронами, а все вышележащие уровни свободны. Последний заполненный уровень энергии при абсолютном нуле температуры называется уровнем (или энергией) Ферми (обозначают ). Следовательно, химический потенциал μ фермионов – это энергия Ферми. При температуре химический потенциал – это уровень энергии, средняя заполненность которого равна одной второй: Можно сказать также, что уровень Ферми – это уровень, вероятность заполнения которого равна

В случае бозонов среднее число частиц в квантовом состоянии с энергией определяется как

(3.23)

Эта функция называется распределением Бозе – Эйнштейна по энергии частиц в случае дискретного спектра.

Рис. 3.6

Как видим, распределение Бозе – Эйнштейна отличается от распределения Ферми – Дирака только знаком перед единицей в знаменателе. Видим также, что величина может принимать любые значения. Так и должно быть. Поскольку бозоны принципу Паули не подчиняются и число их в каждом состоянии не ограничено. Химический потенциал бозонов

Если то единицей в формулах (3.22) и (3.23) можно пренебречь; различия между распределениями Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна исчезают, и оба распределения переходят в распределение Больцмана (3.8). При этом Указанное выше условие выполняется при высоких температурах.

В случае непрерывного спектра энергии, как и прежде, можно пользоваться квазиклассическим приближением. Наличие спина учитывается тем, что в число параметров состояния частицы включается спиновое магнитное квантовое число Теперь вместо среднего числа частиц на i-ом энергетическом уровне вводится среднее число частиц с энергией, заключенной в интервале от до Имеем Величина определяется в виде (3.18) или (3.20), в которых вместо теперь следует писать – значение энергии из интервала от до Число состояний отвечающих данному энергетическому интервалу, определяется выражением (3.4). Наличие спина у частицы приводит к увеличению числа состояний в раз, так как при одной и той же энергии частицы возможно ориентации ее спина. Поэтому в правой части выражения (3.4) следует поставить множитель . С учетом этого будем иметь

(3.24)

где знак плюс соответствует распределению Ферми – Дирака, а минус – распределению Бозе – Эйнштейна.

При и соотношение (3.25) принимает вид.

Сравнивая это выражение с выражением (3.14), видим, что оно переходит в формулу распределения Максвелла – Больцмана по кинетической энергии, если положить

откуда получаем выражение химического потенциала

где – концентрация газа. Условие можно заменить условием из которого следует условие

(3.25)

Мы пришли к критерию применимости классической статистики Максвелла к идеальному газу. Как видим, оно выполняется тем точнее, чем меньше концентрация газа и чем выше его температура. При выполнении обратного неравенства идеальный газ меняет свои свойства; он становится вырожденным, и его следует описывать с помощью квантовых статистик.

Рис. 3.7

Опыт показывает, что обычные молекулярные газы в широком интервале концентраций и температур удовлетворяют условию (3.25) и, следовательно, допускают классическое или квазиклассическое описание.

Распределения Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна в случае непрерывного спектра изображены на рис. 3.7. Здесь же показано и распре-

деление Максвелла – Больцмана. При больших значениях аргумента , когда среднее число частиц, приходящихся на каждое со- стояние с энергией , оказывается много меньше единицы, оба квантовых распределения переходят в классическое распределение Максвелла – Больцмана

Рис. 3.8

На рис. 3.8 приведены зависимости от температуры средней кинетической энергии поступательного движения частиц – классического газа (1), бозе-газа (2) и ферми-газа (3). Как видим, в области вырождения, т.е. в области состояний, в которых проявляются квантовые свойства газа, и, следовательно, возникают отступления его от распределения Максвелла – Больцмана, средняя энергия поступательного движения частиц не является линейной функцией температуры (кривые 2 и 3). При этом поступательное движение бозе-частиц прекращается раньше, чем температура принимает значение абсолютного нуля. Наоборот, ферми-частицы сохраняют некоторую энергию и при абсолютном нуле, называемую нулевой энергией. В области вырождения определение температуры как меры средней энергии поступательного движения молекул газа уже не верно. При высоких температурах все три кривые сливаются в одну – все распределения переходят в распределение Максвелла – Больцмана.