3.5. Распределение по энергии молекул газа во

внешнем силовом поле

Рассмотрим идеальный газ, находящийся в каком-либо силовом поле и пусть u – потенциальная энергия молекулы в этом поле. Будем считать для простоты поле однородным, так что силы поля имеют неизменное направление, которое мы выберем в качестве оси Z. Представим себе две площадки, ориентированные перпендикулярно оси Z и находящиеся друг от друга на расстоянии dz. Если p и p + dp – давления газа на этих площадках, то их разность dp должна, очевидно, равняться приходящейся на единицу площади силе, действующей на молекулы, находящиеся в слое, образованном рассматриваемыми площадками, т.е. где n – концентрация молекул газа, – сила, действующая на одну молекулу в точке с координатой z. Сила связана с потенциальной энергией u молекулы соотношением так что

Учитывая, что и предполагая, что температура газа во всех точках одинакова, и следовательно, будем иметь Откуда

Интегрируя обе части этого равенства, получим

Полагая, что при u = 0, найдем , где – концентрация молекул в точке, где u = 0. Тогда получим

(3.15)

Эта формула была получена Больцманом; она связывает изменение концентрации газа с потенциальной энергией его молекул. Умножив обе части равенства (3.15) на получим зависимость давления газа от потенциальной энергии:

В случае поля силы тяжести вблизи земной поверхности потенциальная энергия на высоте z равна u = mgz, где m – масса молекулы. Поэтому, если считать температуру газа не зависящей от высоты, то давление p на высоте z будет связано с давлением p₀ на поверхности Земли соотношением

Эту формулу называют барометрической формулой; обычно ее записывают в виде

где M – молярная масса газа, R – газовая постоянная. Формула эта показывает, что давление газа в поле силы тяжести экспоненциально убывает с высотой над поверхностью Земли, и тем быстрее, чем больше молярная масса газа.

Умножив равенство (3.15) на объем V газа и учтя, что nV = N – число молекул газа, обладающих потенциальной энергией U, придем к формуле

Здесь N₀ – число молекул газа, имеющих потенциальную энергию U = 0. Записанное соотношение называют распределением Больцмана по потенциальной энергии частицы. Подставляя это выражение в формулу (3.12), получим так называемое распределение Максвелла – Больцмана для газа, находящегося во внешнем силовом поле:

(3.16)

Поскольку потенциальная энергия частицы зависит от ее положения в силовом поле, то распределение Максвелла – Больцмана одновременно определяет как вероятность данного значения кинетической энергии молекулы газа, так и вероятность данного положения ее во внешнем потенциальном поле сил.

При постоянстве числа частиц газа и его полной энергии распределение молекул по значениям энергии, описываемое формулой (3.14), соответствует наиболее вероятному их распределению.