Вопросы и упражнения

1. Даны три вектора e₁(1,2), e₂(–3,1), e₃(–3,–2). Найти координаты вектора 2e₁ + e₂ – 3e₃.

Ответ: 1) (8,11);

2. Даны три вектора e₁(1,1), e₂(2,–1), e₃(–4,–1). Найти числа такие, что .

Ответ: 1) , .

3. Проверить, что векторы e₁(1,2), e₂(–3,1) образуют базис на плоскости. Найти координаты вектора e₃(–2, 3) в этом базисе.

Ответ: 1) (1,1);

4. Даны три вектора e₁(1,2,1), e₂(–3,1,0), e₃(–3,–2,–1). Найти координаты вектора 2e₁ + e₂ – 2e₃.

Ответ: 1) (5,9,4);

5. Даны четыре вектора e₁(1,1,1), e₂(2,–1,1), e₃(–4,–1,1), e₄(0,0,4). Найти числа такие, что .

Ответ: 1) , , .

6. Даны три вектора e₁(1,1), e₂(–3,1), e₃(–1,1). Образуют ли эти векторы базис?

Ответ: 1) нет, так как любые три вектора на плоскости линейно зависимы; 2) да, так как векторы неколлинеарны; 3) да, так как любой другой вектор на плоскости можно разложить по этим векторам; 4) нет, так как существуют векторы, которые нельзя разложить по данным векторам.

7. Даны четыре вектора e₁(1,1,1), e₂(–3,1,0), e₃(–1,0,0), e₄(0,1,1). Образуют ли эти векторы базис?

Ответ: 1) нет, так как любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы; 2) да, так как векторы некомпланарны; 3) да, так как любой другой вектор в пространстве можно разложить по этим векторам; 4) нет, так как существуют векторы, которые нельзя разложить по данным векторам.

3.6. Ранг матрицы

Пусть — произвольная i-я строка матрицы . Каждая строка является элементом линеала , поэтому если число строк в матрице , то строки линейно зависимы. С другой стороны, очевидно, что среди существует ровно строк, являющихся линейно независимыми, по которым можно разложить остальные (n – k) строк.

Определение 3.6.1. Указанная совокупность k строк называется строчечным базисом, а число k — строчечным рангом матрицы.

Если матрица , где , то в ней существует не более p линейно независимых столбцов. Среди столбцов имеется ровно линейно независимых, по которым можно разложить любой из остальных столбцов.

Определение 3.6.2. Указанная совокупность m столбцов называется столбцовым базисом, а число m — столбцовым рангом матрицы S.

Теорема 3.6.1. Строчечный (столбцовый) ранг любой матрицы не зависит от выбора строчечного (столбцового) базиса.

Доказательство. Проведем доказательство для строчечного базиса. Пусть и два разных строчечных базиса одной и той же матрицы. Предположим, что . Поскольку базис, то строки , можно разложить по этому базису, т. е. , . Так как линейно независимы, то в соответствии с теоремой 3.5.3 строки линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает, что . Аналогично показывается, что k не может быть больше r, поэтому .

Пусть дана прямоугольная матрица , . Допустим, что строчечный ранг этой матрицы равен k. Без ограничения общности можно считать, что первые k строк образуют базис, а любая другая строка матрицы A представима в виде их линейной комбинации, т. е.

, . (3.6.1)

Из первых k строк матрицы A построим вспомогательную матрицу , где , . Пусть — j-й столбец матрицы .

Лемма 3.6.1. Если для некоторых чисел справедливо равенство , то .

Доказательство. Пусть , тогда произведение определяет j-ю компоненту столбца . Из равенства следует, что первые k компонент указанного столбца по построению матрицы равны нулю, т. е. , . Тогда для любого в силу (3.6.1) имеем

.

Теорема 3.6.2. Строчечный ранг любой матрицы равен ее столбцовому рангу.

Доказательство. Допустим, что столбцовый базис матрицы состоит из первых столбцов . Так как , то . Столбцы образуют базис, поэтому для любого имеем . Следовательно, справедливо равенство . Тогда в силу леммы 3.6.1 имеем , отсюда следует, что есть столбцовый базис матрицы A. Поскольку имеем неравенство , то столбцовый ранг не превосходит строчечный. Аналогичные рассуждения относительно строчечного базиса приводят к выводу, что . Следовательно, строчечный ранг матрицы совпадает со столбцовым рангом.

Определение 3.6.3. Общее значение столбцового и строчечного ранга называется рангом матрицы А и обозначается .

Теорема 3.6.3. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Достаточность. Пусть , следовательно, строки матрицы A линейно зависимы. Поэтому в соответствии с теоремой 3.3.1, по крайней мере, одну из них можно разложить по оставшимся строкам. Без ограничения общности будем считать, что . Определитель не изменяется, если к любой из его строк прибавить другую строку, умноженную на заданное число. Следовательно,

.

Необходимость. Доказательство проведем методом математической индукции по числу n. При имеем , т. е. — линейно зависимая строка. Допустим, что теорема доказана для , докажем ее для случая .

Пусть . Построим вспомогательные строки, считая :

, …, .

Тогда

,

следовательно,

.

По индукционному предположению , т. е. строки , …, линейно зависимы. Но тогда линейно зависимыми являются , следовательно, существуют числа не равные нулю одновременно, что . Поэтому справедливо соотношение

,

отсюда следует линейная зависимость строк , т. е. .

Теорема 3.6.4. Ранг матрицы равен наибольшему порядку миноров, отличных от нуля.

Доказательство. Допустим, что . Тогда в матрице A существует ровно k линейно независимых строк, образующих строчечный базис, и k линейно независимых столбцов, составляющих столбцовый базис. Поэтому минор k-го порядка, построенный на указанных строках и столбцах, очевидно, не равен нулю. При этом все миноры порядка k + 1 и выше (если таковые имеются) будут равны нулю, как содержащие линейно зависимые строки и линейно зависимые столбцы.

Лемма 3.6.2. Ранг произведения двух матриц не превосходит ранг каждого из сомножителей.

Доказательство. Пусть

, .

Произведение

,

следовательно, каждый столбец произведения есть линейная комбинация столбцов матрицы A, поэтому . Аналогично, имеем

,

отсюда каждая строка произведения равна линейной комбинации строк матрицы , т. е. .

Лемма 3.6.3. Для произвольной невырожденной матрицы и любой матрицы A справедливо равенство .

Доказательство. Если матрица , то в силу леммы 3.6.2 . Так как матрица по условию является невырожденной, то существует обратная матрица . Умножим матрицу C справа на , получаем , следовательно, . Таким образом, справедливо равенство .