Дополнительные задачи
ЗАДАЧА 8. Докажите, что производная
по направлению градиента функции
в точке
максимальна.
ЗАДАЧА 9. Докажите сходимость
последовательности
,
где
.
ЗАДАЧА 10. Найдите значения
и B, при которых функция
является бесконечно малой при
.
Типовой вариант домашнего задания (3 модуль)
1. Исследуйте функцию
и построить эскиз ее графика:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
2. Покажите, что уравнение
определяет в некоторой окрестности
точки (-1;0;-2) единственную дифференцируемую
неявную функцию
.
Найти ее частные производные
,
и
в точке (-1;0).
3. Найдите экстремумы функции
при условии
.
4. Найдите наибольшее и наименьшее
значения функции
в области, ограниченной прямыми
.
5. Найдите интегралы:
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
;
;
;
;
;
Исследуйте ряды на сходимость:
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
6. Исследуйте на сходимость интеграл
7. Найдите производную функции
Типовой вариант экзаменационной контрольной работы (4 модуль)
Основная часть
ЗАДАЧА 1. Найдите предел
.
ЗАДАЧА 2. Найдите интеграл
.
ЗАДАЧА 3. Найдите площадь фигуры,
ограниченной линиями
,
(
).
ЗАДАЧА 4. Найдите область сходимости
ряда
.
ЗАДАЧА 5. Найдите экстремум функции
при условии
с помощью функции Лагранжа. Нарисуйте:
а) график условия; б) изолинии,
проходящие через стационарные точки
функции Лагранжа; в) градиент функций
и
в этих точках.
ЗАДАЧА 6. Расставьте пределы
интегрирования в том и другом порядке,
преобразовав интеграл
в повторный, если область
ограничена линиями:
,
,
.
ЗАДАЧА 7. Спрос
и предложение
зависят от цены
следующим образом:
,
.
Найдите наибольшее значение дохода, и
определить эластичность функции дохода
в точке максимума.
Дополнительные задачи
ЗАДАЧА 8. Докажите, что градиент функции в точке и изолиния, проходящая через эту точку, ортогональны.
ЗАДАЧА 9. Выведите формулу для
нахождения производной функции
.
ЗАДАЧА 10. Является ли последовательность
монотонной?
Разработчики:
___ГУ ВШЭ_______ д. т.н., профессор ___Ф.Т. Алескеров__
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)
А.П. Молчанов
___ИПУ РАН______ __д. ф.-м. наук_______
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)
Эксперты:
_____МГУ________ ___ профессор ___ ___А.А. Васин_____
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)
_____ВЦ РАН_____ ___ профессор ___ ___А.В. Лотов_____
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)