Лекция 4.
Тема: Системы счисления.
Совокупность приёмов наименования и записи чисел с помощью цифр называют системой счисления. В любой такой системе имеется ряд символов, называемых базисными цифрами; все остальные числа отображаются с помощью базисных цифр посредством определённых математических операций.
Системы счисления различаются как выбором базисных цифр, так и правилами образования из них произвольных чисел. Все системы счисления можно разделить на два больших класса – позиционные и непозиционные.
В непозиционных системах значение цифры не зависит от места, занимаемого ею в записи числа. Примером может служить римская система счисления, в которой в качестве цифр используются латинские буквы I- 1,
V – 5,
X – 10,
L – 50,
C – 100,
D – 500,
M – 1000.
Например, число 7 получается пятёрки и двух единиц, и отображается при записи в виде VII, а число 527 имеет вид DXXVII, т.е. 527 = 500*1 + 2*10 + 5 + 2*1. Таким образом, с увеличением изображаемых чисел быстро увеличивается количество необходимых для записи символов. Однако главный недостаток непозиционных систем – сложность проведения арифметических расчётов. Даже сложение и вычитание римских чисел (не говоря уже об умножении и делении) – это настоящее искусство, требующее специальной подготовки профессиональной подготовки, которым в древности владели лишь немногие.
Для представления информации в ЭВМ, наряду с десятичной системой, широко используются другие системы счисления: двоичная, шестнадцатеричная, восьмеричная, двоично-кодированная десятичная. Рассмотрим принцип построения этих систем счисления.
Данные системы счисления являются позиционными, числе в таких системах представляются последовательностью цифр разрядов, разделенных запятой на две группы: группа разрядов целой части числа, и группа дробной части числа:
а2 а1 а0 , а-1 а-2 а-3 … (1.1)
Здесь а0 , а1 … – цифры нулевого, первого и т. д. разрядов целой части числа, а-1 , а-2 … - цифры первого, второго и т. д. разрядов дробной части числа.
Единице каждого разряда приписан определенный вес рк, где р – основание системы счисления, к – номер разряда, равный индексу при буквах, изображающих цифры разрядов. Представленное выражением (1.1) число записывается следующим образом:
N = …. a2 p2 + a1 p1 + a0 p0 + a-1 p-1 + a-2 p-2 + a-3 p-3 ….
Для представления цифр разрядов используется набор из различных символов. Так при р = 10 (десятичная система счисления) используется набор из десяти символов: 0…9.
В качестве примера рассмотрим запись числа 73,1510 (индекс при числе 10 указывает основание системы счисления, в которой представлено число):
73,1510 = 7 101 + 3 100 + 1 10-1 + 5 10-2
Используя приведенные положения, путем выбора различных значений основания р можно строить разнообразные системы счисления.
Двоичная система счисления
Основание системы р=2. Для записи цифр требуется набор всего из двух символов (0 и 1), следовательно, в этой системе счисления число представляется последовательностью символов 0 и 1 и в общем виде может быть представлено так:
N2 = a2 22 + a1 21 + a0 20 + a-1 2-1 + a-2 2-2 ……
1011,01 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 + 0 2-1 +1 2-2
Двоичная система легко согласуется с техническими возможностями электронной техники. Недостаток двоичной системы счисления – большое количество разрядов в изображении числа.
Каждая позиция двоичного числа носит название «бит». Число, содержащее 8 бит, называется байтом. Двоичное число записывается таким образом, чтобы левый бит имел наибольший вес рк.