2.Существование решения.

3.Необходимые условия:

3.I.Составление функции Лагранжа.

3.2.Применение правила множителей Лагранжа.

3.3.Решение вопроса ?

3.4.Решение уравнений.

4.Достаточные условия.

5.Ответ.

6.Пример решения задач.

Пример 1. Доказать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, а именно, если , то

Решение.I. Формализация задачи. Зафиксируем число α > 0 и рассмотрим задачу

_n

Õx_i

ⁱ⁼¹

_n

Õx_i

ⁱ⁼¹

_n

Õx_i

ⁱ⁼¹

_n

Õx_i

ⁱ⁼¹

_n

Õx_i

ⁱ⁼¹

_n

Õx_i

ⁱ⁼¹

_n

Õx_i

ⁱ⁼¹

_n

Õx_i

ⁱ⁼¹

2.Существование решения. Множество

является замкнутым и ограниченным, а функция является непрерывной. По теореме Вейерштрасса существует точка absmin .

3.Необходимые условия.

3.I. Составим функцию Лагранжа.

3.2.Применение правила множителей Лагранжа. Напишем условие стационарности (3.1)

(6.1)

условие согласия знаков (3.2)

(6.2)

условие дополняющей нежесткости (3.3)

(6.3)

условие связи (3.4)

(6.4)

3.3.Решение вопроса о ? Допустим, что . Тогда из (6.1) следует, что для j=1,....,n. Заметим, что , иначе бы , а в точке значение функции равно .С учетом этого замечания из (6.3) имеем . То есть, набор чисел – нулевой. Итак, .

3.4.Решение уравнений.

Поскольку , то из условия (6.3) следует, что при j=1,…,n. Положим в (6.1) . Тогда будем иметь

Подставив в уравнение связи (6.4) получим

(6.5)

4.Достаточные условия. Поскольку решение задачи существует, то оно удовлетворяет необходимым условиям, а необходимым условиям удовлетворяет единственная точка (6.5). Следовательно точка (6.5) является absmin .

5.Ответ. Имеем, что при

Следовательно, извлекая корень n-ой степени из обеих частей неравенства, получим требуемое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Пример 2.(см. [6], стр.141). Требуется спроектировать прямоугольный контейнер заданного объема, длина которого больше заданной величины и израсходовать как можно меньше материала.

Решение.

1.Формализация. Обозначим через -длину, -ширину и -высоту контейнера (см. рис.1)

Тогда объем , площадь боковой поверхности равна . Задача сводится к минимизации площади боковой поверхности при заданном объеме и длине не меньшей заданного числа . Таким образом, имеем следующую задачу

2.Существование решения. Множество

является непустым при , так как точка , ему принадлежит. Оно является ограниченным и замкнутым. По теореме Вейерштрасса существует точка absmin . Эта точка является внутренней точкой множества .

3.Необходимые условия.

3.1.Составим функцию Лагранжа

3.2.Применение правила множителей Лагранжа. Запишем условие стационарности

(6.6)

условие дополняющей нежесткости

(6.7)

условие связей

(6.8)

условие согласования знаков

(6.9)

3.3.Допустим , что . Тогда из второго уравнения (6.6) следует, что . Отсюда, учитывая уравнение связи (6.8). получим . Учитывая последнее равенство, из первого уравнения (6.6) получим, что и . Итак, .

3.4.Положим в условиях стационарности (6.6) и рассмотрим два случая.

СЛУЧАЙ 1. Пусть . Тогда имеем

Умножая первое уравнение на , второе на , третье на и учитывая уравнение связи (6.6) получим,

(6.9)

а точка должна удовлетворять ограничению , то есть

(6.10)

Таким образом, случай 1 возможен при выполнении неравенства (6.10).

СЛУЧАЙ 2. Пусть . Тогда из условия дополняющей нежесткости (6.7) имеем . Из второго и третьего уравнения (6.6) (при ) и из (6.8) имеем

(6.11)

Отсюда находим, что

(6.12)

Подставляя эти значения в (6.11) и уравнение (6.6) находим

Условие согласование знаков примет вид

(6.13)

Таким образом, случай 2 возможен при выполнении (6.13).

4.Достаточные условия. Решение рассматриваемой задачи существует. Необходимым условиям удовлетворяет единственная точка (6.9) в случае (6.10)и (6.12) в случае (6.13). Следовательно, она и будет являться решением задачи.

5.Ответ. Если объем куба со стороной не больше заданного объема контейнера, то оптимальный контейнер нужно строить в форме куба; в противном случае контейнер долен иметь вид параллелепипеда длиной , а высота и ширина его равны между собой.

Пример 3 (см. [5], стр.37). Требуется определить параметры ракеты, имеющей не более трех ступеней, чтобы при заданной начальной массе и заданной конечной скорости полезная масса ракеты была максимальна.

Решение.1.Формализация. Рассмотрим трехступенчатую ракету. Пусть

-масса топлива и корпуса i-ой ступени,

-масса корпуса i-ой ступени,

-масса топлива i-ой ступени.

Здесь . Пусть -полезная масса ракеты. Тогда масса всей ракеты

В начале работает первая ступень ракеты. Когда все топливо первой ступени израсходовано, остается масса . Пусть -скорость выброса частиц топлива относительно корпуса ракеты. Тогда согласно формуле Циолковского, после работы первой ступени ракета приобретает скорость

Затем отделяется корпус первой ступени и включается двигатель второй ступени. В результате работы второй ступени достигается скорость

Скорость ракеты после отделения третьей ступени равна

Таким образом, имеем задачу

Обозначим

, , (6.14)

тогда и имеем следующую задачу:

Отметим, что если какое-то , то масса i-ой ступени равна нулю.

2.Существоввание решения. Выясним вначале, при каких условиях связи в задаче совместимы. Функция при возрастает, Поэтому при выполнено неравенство

следовательно, если

то левая часть в предыдущем неравенстве всегда меньше нуля и, следовательно, взяв в задаче при не выполняется. Если же,

то связь в задаче выполняется, например, при

Возьмем и рассмотрим множество

Это множество не пусто и ограничено. По теореме Вейерштрасса решение , , задачи существует.

3.Необходимые условия.

3.1.Составим функцию Лагранжа

3.2.Запишем условие стационарности.

Условия дополняющей нежесткости

, ,

Условие связи

(6.15)

3.3.Допустим, что . Тогда из условий стационарности следует, что и они не равны нулю, ибо иначе . Из условий дополняющей нежесткости имеем . Однако эта точка не удовлетворяет уравнению связи. Итак .

3.4. Положим в условии стационарности . Умножим i-ое уравнение на и, используя условие дополняющей нежесткости, получим

(6.16)

СЛУЧАЙ 1. Пусть . Тогда из (6.16) следует, что . Из уравнения связи (6.15) находим

(6.17)

СЛУЧАЙ 2. Пусть , . Тогда из условия дополняющей нежесткости имеем, что , а из (6.16) следует равенство . Подставив в уравнение связи (6.17), получим

(6.18)

Чтобы эта точка была допустимой, нужно предполагать

(6.19)

Аналогично, получаются две другие точки, если переставить индексы

.

СЛУЧАЙ 3. Пусть .Тогда из условия дополняющей нежесткости имеем . Отсюда и из уравнения связи (6.7) получим

(6.20)

Эта точка будет допустимой, при

(6.21)

Аналогично получаются две другие точки, если переставить индексы

.

4.Достаточные условия. Решение рассматриваемой задачи существует. Необходимым условиям удовлетворяет точка (6.17), три точки вида (6.18) (если выполнено (6.19)) и три точки вида (6.20) (если выполнено (6.21)). Вычислим значение целевой функции в этих точках. Для точки (6.17).

(6.22)

для точки вида (6.18)

(6.23)

для точек вида (6.20)

(6.24)

Выполнены следующие неравенства

Поэтому для параметра возможны три случая.

СЛУЧАЙ А. . Тогда неравенства (6.19) и (6.21) не выполняются. Необходимым условиям минимума удовлетворяет единственная точка (6.17). она и будет оптимальна.

СЛУЧАЙ Б. . Необходимым условиям минимума в этом случае удовлетворяют точки (6.18) и (6.20). покажем, что точкой абсолютного минимума является точка (6.17). Для этого нужно показать, что . Из формул (6.22) и (6.23) имеем

При выражение, стоящее в квадратных скобках не превосходит

.

Таким образом, .

СЛУЧАЙ В. . Необходимым условиям минимума удовлетворяют точки (6.17),(6.18) и (6.20) . покажем, что точкой абсолютного минимума является точка (6.17). Для этого, с учетом случая Б, достаточно показать, что . Из формул (6.23) и (6.24) имеем, что

Т аким образом, точка (6.17) доставляет абсолютный минимум в задаче .