Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

_________________________________

С. А. Гельвер, С. Н. Смердин

КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА

абсолютно ТВЕРДОГО ТЕЛА

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний к решению задач

для студентов первого курса очного и заочного обучения

Омск 2009

УДК 530.1 (075.8)

ББК 22.234я7

Г32

Кинематика и динамика абсолютно твердого тела: Методические указания к решению задач / С. А. Гельвер, С. Н. Смердин; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2009. 23 с.

Содержатся методические рекомендации по изучению общего курса физики и к решению задач по кинематике и динамике вращательного движения твердого тела, кратко излагаются необходимые теоретические сведения по темам, входящим в курс механики твердого тела. Приводятся условия задач по кинематике и динамике вращательного движения абсолютно твердого тела для проведения практических аудиторных занятий и самостоятельной работы студентов.

Методические указания предназначены для студентов первого курса всех факультетов университета.

Библиогр.: 6 назв. Табл. 1. Рис. 5.

Рецензенты: доктор филос. наук, канд. физ.-мат. наук,

профессор А. В. Гидлевский;

доктор техн. наук, профессор В. А. Нехаев.

.

_ ________________________

© Омский гос. университет

путей сообщения, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 1 1 5

1. Основные теоретические сведения по вращательному движению абсо-

лютно твердого тела вокруг неподвижной оси 11 6

2. Задачи на определение кинематических характеристик вращательного

движения абсолютно твердого тела 1 12

3. Задачи по динамике вращательного движения абсолютно твердого тела 1 14

3.1. Момент инерции и момент импульса абсолютно твердого тела 1 14

3.2. Основной закон динамики вращательного движения 1 17

3.3. Движение связанных тел с учетом вращения блока 19

Библиографический список 1 22

3

ВВЕДЕНИЕ

При изучении курса физики практические занятия по решению задач имеют большое значение для лучшего понимания теоретического материала.

Цель настоящих методических указаний  оказать помощь студентам в освоении методики решения типовых физических задач по разделу «Вращательное движение твердого тела».

В данной работе содержатся краткие теоретические сведения  основные формулы и законы, необходимые для решения задач по теме «Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси». Более подробные теоретические сведения по данной теме содержатся в учебниках 1  5].

Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо тщательно изучить соответствующую теорию. Затем следует внимательно прочитать и записать условия задачи, перевести единицы измерения всех величин в основные единицы СИ и, если необходимо, сделать схематический рисунок, отражающий условия задачи.

Все задачи следует решать в общем виде: сначала определить формулу для расчета искомой величины, а затем подставить в нее численные данные. Такой подход позволяет выработать общие приемы решения задач по каждому разделу физики.

Задачи повышенного уровня сложности, обозначенные в данных методических указаниях звездочкой, предназначены для студентов, которые успешно решают типовые задачи.

1. Основные теоретические сведения

по вращательному движению абсолютно твердого тела

ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Абсолютно твердое тело можно определить как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. Вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела, лежащие на некоторой прямой, непосредственно связанной с телом, остаются неподвижными. Такая прямая называется осью вращения тела. Все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения тела, а центры лежат на этой оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются угловое перемещение (угол поворота) , угловая скорость и угловое ускорение

Угол поворота  является скалярной величиной, которая в СИ измеряется в радианах.

Угол поворота  вращающегося тела связан с числом оборотов N соотношением:

(1)

Угловая скорость характеризует быстроту вращательного движения и определяется через производную от угла поворота тела по времени:

(2)

Элементарное угловое перемещение  аксиальный вектор, его нап-равление определяется по правилу правого винта. Модуль вектора углового перемещения численно равен малому углу поворота , совершенному за время Вектор угловой скорости также, как и вектор элементарного углового перемещения , направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда видно вращение, происходящее против хода часовой стрелки. Поскольку направление угловой скорости определяется условно, вектор является псевдовектором.

По известному закону изменения со временем угловой скорости (_z(t)) можно найти закон изменения угла поворота:

(3)

Изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением. По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение тела также можно представить в виде вектора направленного вдоль оси вращения тела. Нап-равление вектора совпадает с направлением вектора когда вращение ускоренное, и противоположно направлению вектора при торможении. Угловое ускорение в данный момент времени определяется через первую производную от угловой скорости или вторую производную от угла поворота тела по времени:

. (4)

Аналогично определению закона изменения угла поворота можно найти закон изменения со временем угловой скорости:

(5)

В случае вращения тела при из формул (3) и (5) получаются соотношения:

; (6)

(7)

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка движется вокруг этой же оси по окружности радиусом R (рис. 1). Модуль линейной скорости точки вращающегося твердого тела определяется по формуле:

(8)

Скорость для отличия от угловой часто называют линейной скоростью. Найдем выражение для вычисления вектора . Для этого определим положение точек тела с помощью радиуса-вектора проведенного из точки О, лежащей на оси вращения (см. рис. 1). Тогда Линейная скорость каждой точки твердого тела будет связана с угловой скоростью соотношением:

Рис. 1

(9)

Быстроту изменения линейной скорости по направлению характеризует нормальное ускорение, направленное к центру окружности, а быстроту изменения линейной скорости по величине – тангенциальное ускорение, направленное по касательной к окружности. Модуль нормального ускорения определяется по формуле:

(10)

Тангенциальное ускорение точки

(11)

Полное ускорение точки при вращении определяется как векторная сумма тангенциального и нормального ускорений. Модуль полного ускорения рассчитывается по соотношению:

(12)

Для описания вращательного движения вводятся следующие характе-ристики: момент силы момент инерции I и момент импульса В теорети-ческой механике момент импульса называют кинетическим моментом.

Момент силы  величина, характеризующая вращательный эффект силы. Различают момент силы относительно точки (векторная величина) и момент силы относительно оси (проекция вектора на ось).

_{Моментом силы относительно точки О называется векторная величина} , _{которая определяется векторным произведением радиуса-вектора про}веденного из точки О в точку приложения силы на вектор силы :

(13)

_{Индекс «О» указывает на то, что определяется относительно точки О, лежащей на оси вращения Оz. Вектор оказывается перпендикулярным}

п лоскости, проходящей через точку О и вектор , и будет направлен в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой виден против хода часовой стрелки (рис. 2).

_{Моментом силы относительно оси Оz называется скалярная величина Мz, равная проекции вектора на ось Оz}. _{Индекс «z» указывает на то, что характеристика Mz определяется относительно оси вращения Оz. Если угловая скорость направлена по оси Oz и проекция момента силы на ось вращения положительна, то такой момент силы называют вращающим, иначе – тормозящим.}

Момент инерции – величина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. В механике различают осевые, центробежные и полярные моменты инерции.

Моментом инерции тела относительно неподвижной оси Оz называется скалярная величина

(14)

где m_i  масса i-й точки тела;

r_i  расстояние от i-й точки тела до оси Оz;

N  число материальных точек, из которых состоит тело.

Индекс «z» у момента инерции обозначает, что момент инерции определяется относительно оси Оz.

В случае непрерывного распределения массы тела сумма, стоящая в формуле (14), заменяется интегралом:

. (15)

Определение интеграла (15) в общем случае представляет собой сложную задачу, но в случае вычисления моментов инерции однородных симметричных тел относительно осей, проходящих через центры масс тел и являющихся осями симметрии, задача упрощается.

Результаты вычисления моментов инерции ряда тел правильной геометрической формы относительно оси Оz, проведенной через центр масс твердого тела, приведены в таблице [1 – 3].

Формулы для вычисления момента инерции ряда тел

правильной геометрической формы относительно оси,

проходящей через их центр масс

Обруч	Диск	Шар	Стержень

Центробежными моментами инерции тела относительно осей x, y, z декартовой системы координат называются величины, определяемые по формулам:

(16)

Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности тела. Возникающая при вращении тела сила давления на подшипник, в котором закреплена ось, зависит от значения центробежных моментов инерции тела.

Через каждую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых

Если ось Оz не проходит через центр масс, то момент инерции определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера:

(17)

где  момент инерции относительно оси вращения Оz;

 момент инерции относительно оси симметрии, параллельной оси Оz;

а – расстояние между осями;

m – масса тела.

Момент импульса (момент количества движения, кинетический момент) твердого тела  характеристика вращательного движения. Как и для момента силы, различают момент импульса относительно неподвижного центра О и относительно неподвижной оси Oz.

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижного центра О равен геометрической сумме моментов импульсов всех точек тела относительно того же центра:

(18)

Если абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Оz, то

(19)

где  проекция момента импульса на ось Оz;

 момент инерции твердого тела относительно оси Оz.

Изменение момента импульса абсолютно твердого тела происходит только в результате действия момента внешних сил Уравнение моментов (теорема об изменении момента импульса) имеет вид:

(20)

Формула (20) сохранит свой вид, если за неподвижный центр О принимается центр масс твердого тела.

Соотношение (20) может быть упрощено, если оси координат направить по главным осям инерции. Тогда центробежные моменты инерции обращаются в ноль. Предположим, что ось вращения Oz проходит через центр масс твердого тела, тогда уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси примет вид:

(21)

или

. (22)

Соотношение (22) называется уравнением динамики вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси.